Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37229 / 26734
↖ ↑ ↗
← N 31.438037°
E 24.505005°		 ← 521.13 m → N 31.438037°
E 24.510498°		 →
↑
521.15 m
↓
↑
521.15 m
↓
N 31.433350°
E 24.505005°		 ← 521.15 m →
271 591 m²		 N 31.433350°
E 24.510498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568077087402344 y=0.407936096191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568077087402344 × 216)
    floor (0.568077087402344 × 65536)
    floor (37229.5)     		tx = 37229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407936096191406 × 216)
    floor (0.407936096191406 × 65536)
    floor (26734.5)     		ty = 26734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37229 / 26734 ti = "16/37229/26734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37229/26734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37229 ÷ 216
    37229 ÷ 65536     		x = 0.568069458007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26734 ÷ 216
    26734 ÷ 65536     		y = 0.407928466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568069458007812 × 2 - 1) × π
    0.136138916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42769302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407928466796875 × 2 - 1) × π
    0.18414306640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.578502504614838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42769302} λ = 0.42769302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.578502504614838))-π/2
    2×atan(1.78336584803188)-π/2
    2×1.05974679290809-π/2
    2.11949358581618-1.57079632675     		φ = 0.54869726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42769302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.505005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54869726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.438037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37229 KachelY 26734 0.42769302 0.54869726 24.505005 31.438037
    Oben rechts KachelX + 1 37230 KachelY 26734 0.42778889 0.54869726 24.510498 31.438037
    Unten links KachelX 37229 KachelY + 1 26735 0.42769302 0.54861546 24.505005 31.433350
    Unten rechts KachelX + 1 37230 KachelY + 1 26735 0.42778889 0.54861546 24.510498 31.433350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54869726-0.54861546) × R
    8.17999999999097e-05 × 6371000     		dl = 521.147799999425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54869726-0.54861546) × R
    8.17999999999097e-05 × 6371000     		dr = 521.147799999425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42769302-0.42778889) × cos(0.54869726) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.853204724004508 × 6371000     		do = 521.127010728168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42769302-0.42778889) × cos(0.54861546) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.853247386080497 × 6371000     		du = 521.153068202424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54869726)-sin(0.54861546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853204724004508-0.853247386080497)×R²
    abs(0.42778889-0.42769302)×4.26620759889085e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.26620759889085e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.26620759889085e-05×40589641000000     		ar = 271590.985210399m²