Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37228 / 38788
S 31.372399°
E 24.499511°
← 521.55 m → S 31.372399°
E 24.505005°

521.47 m

521.47 m
S 31.377089°
E 24.499511°
← 521.52 m →
271 962 m²
S 31.377089°
E 24.505005°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568061828613281 y=0.591865539550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568061828613281 × 216)
    floor (0.568061828613281 × 65536)
    floor (37228.5)
    tx = 37228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591865539550781 × 216)
    floor (0.591865539550781 × 65536)
    floor (38788.5)
    ty = 38788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37228 / 38788 ti = "16/37228/38788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37228/38788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37228 ÷ 216
    37228 ÷ 65536
    x = 0.56805419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38788 ÷ 216
    38788 ÷ 65536
    y = 0.59185791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.56805419921875 × 2 - 1) × π
    0.1361083984375 × 3.1415926535
    Λ = 0.42759714
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.59185791015625 × 2 - 1) × π
    -0.1837158203125 × 3.1415926535
    Φ = -0.577160271425476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42759714} λ = 0.42759714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.577160271425476))-π/2
    2×atan(0.561490585620762)-π/2
    2×0.511622334089547-π/2
    1.02324466817909-1.57079632675
    φ = -0.54755166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42759714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.499511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54755166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.372399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37228 KachelY 38788 0.42759714 -0.54755166 24.499511 -31.372399
    Oben rechts KachelX + 1 37229 KachelY 38788 0.42769302 -0.54755166 24.505005 -31.372399
    Unten links KachelX 37228 KachelY + 1 38789 0.42759714 -0.54763351 24.499511 -31.377089
    Unten rechts KachelX + 1 37229 KachelY + 1 38789 0.42769302 -0.54763351 24.505005 -31.377089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.54755166--0.54763351) × R
    8.18500000000499e-05 × 6371000
    dl = 521.466350000318m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.54755166--0.54763351) × R
    8.18500000000499e-05 × 6371000
    dr = 521.466350000318m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.42759714-0.42769302) × cos(-0.54755166) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.853801681659168 × 6371000
    do = 521.546020867952m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.42759714-0.42769302) × cos(-0.54763351) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.853759067820634 × 6371000
    du = 521.519990141615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.54755166)-sin(-0.54763351))×
    abs(λ12)×abs(0.853801681659168-0.853759067820634)×
    abs(0.42769302-0.42759714)×4.26138385344332e-05×
    9.58799999999926e-05×4.26138385344332e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.26138385344332e-05×40589641000000
    ar = 271961.912937m²