Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37228 / 38756
↖ ↑ ↗
← S 31.222197°
E 24.499511°		 ← 522.38 m → S 31.222197°
E 24.505005°		 →
↑
522.29 m
↓
↑
522.29 m
↓
S 31.226894°
E 24.499511°		 ← 522.35 m →
272 828 m²		 S 31.226894°
E 24.505005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568061828613281 y=0.591377258300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568061828613281 × 216)
    floor (0.568061828613281 × 65536)
    floor (37228.5)     		tx = 37228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591377258300781 × 216)
    floor (0.591377258300781 × 65536)
    floor (38756.5)     		ty = 38756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37228 / 38756 ti = "16/37228/38756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37228/38756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37228 ÷ 216
    37228 ÷ 65536     		x = 0.56805419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38756 ÷ 216
    38756 ÷ 65536     		y = 0.59136962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56805419921875 × 2 - 1) × π
    0.1361083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42759714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59136962890625 × 2 - 1) × π
    -0.1827392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.574092309849793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42759714} λ = 0.42759714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.574092309849793))-π/2
    2×atan(0.563215862350665)-π/2
    2×0.512933094446163-π/2
    1.02586618889233-1.57079632675     		φ = -0.54493014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42759714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.499511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54493014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.222197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37228 KachelY 38756 0.42759714 -0.54493014 24.499511 -31.222197
    Oben rechts KachelX + 1 37229 KachelY 38756 0.42769302 -0.54493014 24.505005 -31.222197
    Unten links KachelX 37228 KachelY + 1 38757 0.42759714 -0.54501212 24.499511 -31.226894
    Unten rechts KachelX + 1 37229 KachelY + 1 38757 0.42769302 -0.54501212 24.505005 -31.226894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54493014--0.54501212) × R
    8.1980000000037e-05 × 6371000     		dl = 522.294580000236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54493014--0.54501212) × R
    8.1980000000037e-05 × 6371000     		dr = 522.294580000236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42759714-0.42769302) × cos(-0.54493014) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.855163505381614 × 6371000     		do = 522.377892904307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42759714-0.42769302) × cos(-0.54501212) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.855121007490467 × 6371000     		du = 522.351933004603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54493014)-sin(-0.54501212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855163505381614-0.855121007490467)×R²
    abs(0.42769302-0.42759714)×4.24978911467422e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.24978911467422e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.24978911467422e-05×40589641000000     		ar = 272828.362971107m²