Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37228 / 27725
↖ ↑ ↗
← N 26.681821°
E 24.499511°		 ← 545.80 m → N 26.681821°
E 24.505005°		 →
↑
545.74 m
↓
↑
545.74 m
↓
N 26.676913°
E 24.499511°		 ← 545.83 m →
297 874 m²		 N 26.676913°
E 24.505005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568061828613281 y=0.423057556152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568061828613281 × 216)
    floor (0.568061828613281 × 65536)
    floor (37228.5)     		tx = 37228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423057556152344 × 216)
    floor (0.423057556152344 × 65536)
    floor (27725.5)     		ty = 27725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37228 / 27725 ti = "16/37228/27725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37228/27725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37228 ÷ 216
    37228 ÷ 65536     		x = 0.56805419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27725 ÷ 216
    27725 ÷ 65536     		y = 0.423049926757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56805419921875 × 2 - 1) × π
    0.1361083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42759714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423049926757812 × 2 - 1) × π
    0.153900146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.483491569567886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42759714} λ = 0.42759714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.483491569567886))-π/2
    2×atan(1.62172690069842)-π/2
    2×1.0182409803837-π/2
    2.0364819607674-1.57079632675     		φ = 0.46568563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42759714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.499511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46568563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.681821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37228 KachelY 27725 0.42759714 0.46568563 24.499511 26.681821
    Oben rechts KachelX + 1 37229 KachelY 27725 0.42769302 0.46568563 24.505005 26.681821
    Unten links KachelX 37228 KachelY + 1 27726 0.42759714 0.46559997 24.499511 26.676913
    Unten rechts KachelX + 1 37229 KachelY + 1 27726 0.42769302 0.46559997 24.505005 26.676913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46568563-0.46559997) × R
    8.56600000000429e-05 × 6371000     		dl = 545.739860000273m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46568563-0.46559997) × R
    8.56600000000429e-05 × 6371000     		dr = 545.739860000273m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42759714-0.42769302) × cos(0.46568563) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.893513903417844 × 6371000     		do = 545.804290303325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42759714-0.42769302) × cos(0.46559997) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.893552364522889 × 6371000     		du = 545.827784326265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46568563)-sin(0.46559997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893513903417844-0.893552364522889)×R²
    abs(0.42769302-0.42759714)×3.8461105045684e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.8461105045684e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.8461105045684e-05×40589641000000     		ar = 297873.567972309m²