Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37228 / 27674
↖ ↑ ↗
← N 26.931865°
E 24.499511°		 ← 544.60 m → N 26.931865°
E 24.505005°		 →
↑
544.59 m
↓
↑
544.59 m
↓
N 26.926967°
E 24.499511°		 ← 544.63 m →
296 593 m²		 N 26.926967°
E 24.505005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568061828613281 y=0.422279357910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568061828613281 × 216)
    floor (0.568061828613281 × 65536)
    floor (37228.5)     		tx = 37228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422279357910156 × 216)
    floor (0.422279357910156 × 65536)
    floor (27674.5)     		ty = 27674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37228 / 27674 ti = "16/37228/27674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37228/27674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37228 ÷ 216
    37228 ÷ 65536     		x = 0.56805419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27674 ÷ 216
    27674 ÷ 65536     		y = 0.422271728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56805419921875 × 2 - 1) × π
    0.1361083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42759714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422271728515625 × 2 - 1) × π
    0.15545654296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.488381133329132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42759714} λ = 0.42759714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.488381133329132))-π/2
    2×atan(1.6296758554063)-π/2
    2×1.02042302373229-π/2
    2.04084604746458-1.57079632675     		φ = 0.47004972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42759714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.499511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47004972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.931865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37228 KachelY 27674 0.42759714 0.47004972 24.499511 26.931865
    Oben rechts KachelX + 1 37229 KachelY 27674 0.42769302 0.47004972 24.505005 26.931865
    Unten links KachelX 37228 KachelY + 1 27675 0.42759714 0.46996424 24.499511 26.926967
    Unten rechts KachelX + 1 37229 KachelY + 1 27675 0.42769302 0.46996424 24.505005 26.926967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47004972-0.46996424) × R
    8.54800000000266e-05 × 6371000     		dl = 544.59308000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47004972-0.46996424) × R
    8.54800000000266e-05 × 6371000     		dr = 544.59308000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42759714-0.42769302) × cos(0.47004972) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.891545769587216 × 6371000     		do = 544.602052840048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42759714-0.42769302) × cos(0.46996424) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.891584482838832 × 6371000     		du = 544.625700887093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47004972)-sin(0.46996424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891545769587216-0.891584482838832)×R²
    abs(0.42769302-0.42759714)×3.87132516160849e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.87132516160849e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.87132516160849e-05×40589641000000     		ar = 296592.948792436m²