Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37227 / 39136
↖ ↑ ↗
← S 32.990235°
E 24.494019°		 ← 512.31 m → S 32.990235°
E 24.499511°		 →
↑
512.29 m
↓
↑
512.29 m
↓
S 32.994843°
E 24.494019°		 ← 512.28 m →
262 444 m²		 S 32.994843°
E 24.499511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568046569824219 y=0.597175598144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568046569824219 × 216)
    floor (0.568046569824219 × 65536)
    floor (37227.5)     		tx = 37227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597175598144531 × 216)
    floor (0.597175598144531 × 65536)
    floor (39136.5)     		ty = 39136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37227 / 39136 ti = "16/37227/39136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37227/39136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37227 ÷ 216
    37227 ÷ 65536     		x = 0.568038940429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39136 ÷ 216
    39136 ÷ 65536     		y = 0.59716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568038940429688 × 2 - 1) × π
    0.136077880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42750127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59716796875 × 2 - 1) × π
    -0.1943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.610524353561035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42750127} λ = 0.42750127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.610524353561035))-π/2
    2×atan(0.543066035794607)-π/2
    2×0.497504047642554-π/2
    0.995008095285108-1.57079632675     		φ = -0.57578823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42750127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.494019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57578823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.990235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37227 KachelY 39136 0.42750127 -0.57578823 24.494019 -32.990235
    Oben rechts KachelX + 1 37228 KachelY 39136 0.42759714 -0.57578823 24.499511 -32.990235
    Unten links KachelX 37227 KachelY + 1 39137 0.42750127 -0.57586864 24.494019 -32.994843
    Unten rechts KachelX + 1 37228 KachelY + 1 39137 0.42759714 -0.57586864 24.499511 -32.994843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57578823--0.57586864) × R
    8.04100000000307e-05 × 6371000     		dl = 512.292110000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57578823--0.57586864) × R
    8.04100000000307e-05 × 6371000     		dr = 512.292110000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42750127-0.42759714) × cos(-0.57578823) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.838763374870166 × 6371000     		do = 512.306411294612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42750127-0.42759714) × cos(-0.57586864) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.838719589227331 × 6371000     		du = 512.279667559466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57578823)-sin(-0.57586864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838763374870166-0.838719589227331)×R²
    abs(0.42759714-0.42750127)×4.37856428353589e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.37856428353589e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.37856428353589e-05×40589641000000     		ar = 262443.682247784m²