Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37227 / 28147
↖ ↑ ↗
← N 24.592085°
E 24.494019°		 ← 555.39 m → N 24.592085°
E 24.499511°		 →
↑
555.42 m
↓
↑
555.42 m
↓
N 24.587090°
E 24.494019°		 ← 555.41 m →
308 480 m²		 N 24.587090°
E 24.499511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568046569824219 y=0.429496765136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568046569824219 × 216)
    floor (0.568046569824219 × 65536)
    floor (37227.5)     		tx = 37227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429496765136719 × 216)
    floor (0.429496765136719 × 65536)
    floor (28147.5)     		ty = 28147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37227 / 28147 ti = "16/37227/28147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37227/28147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37227 ÷ 216
    37227 ÷ 65536     		x = 0.568038940429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28147 ÷ 216
    28147 ÷ 65536     		y = 0.429489135742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568038940429688 × 2 - 1) × π
    0.136077880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42750127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429489135742188 × 2 - 1) × π
    0.141021728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.443032826288559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42750127} λ = 0.42750127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.443032826288559))-π/2
    2×atan(1.55742345793451)-π/2
    2×1.00000459292968-π/2
    2.00000918585937-1.57079632675     		φ = 0.42921286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42750127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.494019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42921286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.592085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37227 KachelY 28147 0.42750127 0.42921286 24.494019 24.592085
    Oben rechts KachelX + 1 37228 KachelY 28147 0.42759714 0.42921286 24.499511 24.592085
    Unten links KachelX 37227 KachelY + 1 28148 0.42750127 0.42912568 24.494019 24.587090
    Unten rechts KachelX + 1 37228 KachelY + 1 28148 0.42759714 0.42912568 24.499511 24.587090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42921286-0.42912568) × R
    8.71799999999645e-05 × 6371000     		dl = 555.423779999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42921286-0.42912568) × R
    8.71799999999645e-05 × 6371000     		dr = 555.423779999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42750127-0.42759714) × cos(0.42921286) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.909293603731676 × 6371000     		do = 555.385412498522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42750127-0.42759714) × cos(0.42912568) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.909329880685624 × 6371000     		du = 555.407570018326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42921286)-sin(0.42912568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909293603731676-0.909329880685624)×R²
    abs(0.42759714-0.42750127)×3.62769539473673e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.62769539473673e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.62769539473673e-05×40589641000000     		ar = 308480.418768733m²