Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37227 / 27726
↖ ↑ ↗
← N 26.676913°
E 24.494019°		 ← 545.77 m → N 26.676913°
E 24.499511°		 →
↑
545.80 m
↓
↑
545.80 m
↓
N 26.672005°
E 24.494019°		 ← 545.79 m →
297 890 m²		 N 26.672005°
E 24.499511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568046569824219 y=0.423072814941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568046569824219 × 216)
    floor (0.568046569824219 × 65536)
    floor (37227.5)     		tx = 37227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423072814941406 × 216)
    floor (0.423072814941406 × 65536)
    floor (27726.5)     		ty = 27726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37227 / 27726 ti = "16/37227/27726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37227/27726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37227 ÷ 216
    37227 ÷ 65536     		x = 0.568038940429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27726 ÷ 216
    27726 ÷ 65536     		y = 0.423065185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568038940429688 × 2 - 1) × π
    0.136077880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42750127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423065185546875 × 2 - 1) × π
    0.15386962890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.483395695768646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42750127} λ = 0.42750127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.483395695768646))-π/2
    2×atan(1.62157142703216)-π/2
    2×1.01819814717555-π/2
    2.03639629435109-1.57079632675     		φ = 0.46559997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42750127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.494019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46559997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.676913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37227 KachelY 27726 0.42750127 0.46559997 24.494019 26.676913
    Oben rechts KachelX + 1 37228 KachelY 27726 0.42759714 0.46559997 24.499511 26.676913
    Unten links KachelX 37227 KachelY + 1 27727 0.42750127 0.46551430 24.494019 26.672005
    Unten rechts KachelX + 1 37228 KachelY + 1 27727 0.42759714 0.46551430 24.499511 26.672005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46559997-0.46551430) × R
    8.56699999999821e-05 × 6371000     		dl = 545.803569999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46559997-0.46551430) × R
    8.56699999999821e-05 × 6371000     		dr = 545.803569999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42750127-0.42759714) × cos(0.46559997) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.893552364522889 × 6371000     		do = 545.770856105151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42750127-0.42759714) × cos(0.46551430) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.893590823560198 × 6371000     		du = 545.794346414785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46559997)-sin(0.46551430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893552364522889-0.893590823560198)×R²
    abs(0.42759714-0.42750127)×3.84590373084803e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.84590373084803e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.84590373084803e-05×40589641000000     		ar = 297890.092393675m²