Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37225 / 39287
↖ ↑ ↗
← S 33.683211°
E 24.483032°		 ← 508.30 m → S 33.683211°
E 24.488526°		 →
↑
508.28 m
↓
↑
508.28 m
↓
S 33.687782°
E 24.483032°		 ← 508.27 m →
258 351 m²		 S 33.687782°
E 24.488526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568016052246094 y=0.599479675292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568016052246094 × 216)
    floor (0.568016052246094 × 65536)
    floor (37225.5)     		tx = 37225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599479675292969 × 216)
    floor (0.599479675292969 × 65536)
    floor (39287.5)     		ty = 39287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37225 / 39287 ti = "16/37225/39287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37225/39287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37225 ÷ 216
    37225 ÷ 65536     		x = 0.568008422851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39287 ÷ 216
    39287 ÷ 65536     		y = 0.599472045898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568008422851562 × 2 - 1) × π
    0.136016845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42730952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599472045898438 × 2 - 1) × π
    -0.198944091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.625001297246292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42730952} λ = 0.42730952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.625001297246292))-π/2
    2×atan(0.535260734153537)-π/2
    2×0.491456696748605-π/2
    0.982913393497209-1.57079632675     		φ = -0.58788293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42730952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.483032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58788293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.683211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37225 KachelY 39287 0.42730952 -0.58788293 24.483032 -33.683211
    Oben rechts KachelX + 1 37226 KachelY 39287 0.42740540 -0.58788293 24.488526 -33.683211
    Unten links KachelX 37225 KachelY + 1 39288 0.42730952 -0.58796271 24.483032 -33.687782
    Unten rechts KachelX + 1 37226 KachelY + 1 39288 0.42740540 -0.58796271 24.488526 -33.687782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58788293--0.58796271) × R
    7.97799999999738e-05 × 6371000     		dl = 508.278379999833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58788293--0.58796271) × R
    7.97799999999738e-05 × 6371000     		dr = 508.278379999833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42730952-0.42740540) × cos(-0.58788293) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.832116671319792 × 6371000     		do = 508.29970020833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42730952-0.42740540) × cos(-0.58796271) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.8320724226344 × 6371000     		du = 508.272670833369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58788293)-sin(-0.58796271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832116671319792-0.8320724226344)×R²
    abs(0.42740540-0.42730952)×4.42486853927671e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.42486853927671e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.42486853927671e-05×40589641000000     		ar = 258350.879089821m²