Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37225 / 38375
↖ ↑ ↗
← S 29.415676°
E 24.483032°		 ← 532.10 m → S 29.415676°
E 24.488526°		 →
↑
532.04 m
↓
↑
532.04 m
↓
S 29.420460°
E 24.483032°		 ← 532.08 m →
283 093 m²		 S 29.420460°
E 24.488526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568016052246094 y=0.585563659667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568016052246094 × 216)
    floor (0.568016052246094 × 65536)
    floor (37225.5)     		tx = 37225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585563659667969 × 216)
    floor (0.585563659667969 × 65536)
    floor (38375.5)     		ty = 38375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37225 / 38375 ti = "16/37225/38375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37225/38375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37225 ÷ 216
    37225 ÷ 65536     		x = 0.568008422851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38375 ÷ 216
    38375 ÷ 65536     		y = 0.585556030273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568008422851562 × 2 - 1) × π
    0.136016845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42730952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585556030273438 × 2 - 1) × π
    -0.171112060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.53756439233931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42730952} λ = 0.42730952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.53756439233931))-π/2
    2×atan(0.584169328371011)-π/2
    2×0.528697969068697-π/2
    1.05739593813739-1.57079632675     		φ = -0.51340039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42730952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.483032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51340039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.415676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37225 KachelY 38375 0.42730952 -0.51340039 24.483032 -29.415676
    Oben rechts KachelX + 1 37226 KachelY 38375 0.42740540 -0.51340039 24.488526 -29.415676
    Unten links KachelX 37225 KachelY + 1 38376 0.42730952 -0.51348390 24.483032 -29.420460
    Unten rechts KachelX + 1 37226 KachelY + 1 38376 0.42740540 -0.51348390 24.488526 -29.420460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51340039--0.51348390) × R
    8.35099999999533e-05 × 6371000     		dl = 532.042209999703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51340039--0.51348390) × R
    8.35099999999533e-05 × 6371000     		dr = 532.042209999703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42730952-0.42740540) × cos(-0.51340039) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.87107947220049 × 6371000     		do = 532.100184791247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42730952-0.42740540) × cos(-0.51348390) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.871038453887137 × 6371000     		du = 532.075128693828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51340039)-sin(-0.51348390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87107947220049-0.871038453887137)×R²
    abs(0.42740540-0.42730952)×4.10183133535691e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.10183133535691e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.10183133535691e-05×40589641000000     		ar = 283093.092971555m²