Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37224 / 38376
↖ ↑ ↗
← S 29.420460°
E 24.477539°		 ← 532.02 m → S 29.420460°
E 24.483032°		 →
↑
532.04 m
↓
↑
532.04 m
↓
S 29.425245°
E 24.477539°		 ← 531.99 m →
283 050 m²		 S 29.425245°
E 24.483032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568000793457031 y=0.585578918457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568000793457031 × 216)
    floor (0.568000793457031 × 65536)
    floor (37224.5)     		tx = 37224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585578918457031 × 216)
    floor (0.585578918457031 × 65536)
    floor (38376.5)     		ty = 38376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37224 / 38376 ti = "16/37224/38376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37224/38376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37224 ÷ 216
    37224 ÷ 65536     		x = 0.5679931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38376 ÷ 216
    38376 ÷ 65536     		y = 0.5855712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5679931640625 × 2 - 1) × π
    0.135986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42721365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5855712890625 × 2 - 1) × π
    -0.171142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.53766026613855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42721365} λ = 0.42721365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.53766026613855))-π/2
    2×atan(0.584113324522794)-π/2
    2×0.528656213202595-π/2
    1.05731242640519-1.57079632675     		φ = -0.51348390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42721365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.477539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51348390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.420460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37224 KachelY 38376 0.42721365 -0.51348390 24.477539 -29.420460
    Oben rechts KachelX + 1 37225 KachelY 38376 0.42730952 -0.51348390 24.483032 -29.420460
    Unten links KachelX 37224 KachelY + 1 38377 0.42721365 -0.51356741 24.477539 -29.425245
    Unten rechts KachelX + 1 37225 KachelY + 1 38377 0.42730952 -0.51356741 24.483032 -29.425245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51348390--0.51356741) × R
    8.35099999999533e-05 × 6371000     		dl = 532.042209999703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51348390--0.51356741) × R
    8.35099999999533e-05 × 6371000     		dr = 532.042209999703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42721365-0.42730952) × cos(-0.51348390) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.871038453887137 × 6371000     		do = 532.01963483396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42721365-0.42730952) × cos(-0.51356741) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.870997429499231 × 6371000     		du = 531.994577639556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51348390)-sin(-0.51356741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871038453887137-0.870997429499231)×R²
    abs(0.42730952-0.42721365)×4.10243879060967e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.10243879060967e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.10243879060967e-05×40589641000000     		ar = 283050.236702148m²