Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37224 / 26641
↖ ↑ ↗
← N 31.872893°
E 24.477539°		 ← 518.69 m → N 31.872893°
E 24.483032°		 →
↑
518.73 m
↓
↑
518.73 m
↓
N 31.868228°
E 24.477539°		 ← 518.72 m →
269 067 m²		 N 31.868228°
E 24.483032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568000793457031 y=0.406517028808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568000793457031 × 216)
    floor (0.568000793457031 × 65536)
    floor (37224.5)     		tx = 37224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406517028808594 × 216)
    floor (0.406517028808594 × 65536)
    floor (26641.5)     		ty = 26641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37224 / 26641 ti = "16/37224/26641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37224/26641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37224 ÷ 216
    37224 ÷ 65536     		x = 0.5679931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26641 ÷ 216
    26641 ÷ 65536     		y = 0.406509399414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5679931640625 × 2 - 1) × π
    0.135986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42721365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406509399414062 × 2 - 1) × π
    0.186981201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.587418767944168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42721365} λ = 0.42721365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.587418767944168))-π/2
    2×atan(1.79933790727411)-π/2
    2×1.06354162455541-π/2
    2.12708324911081-1.57079632675     		φ = 0.55628692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42721365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.477539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55628692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.872893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37224 KachelY 26641 0.42721365 0.55628692 24.477539 31.872893
    Oben rechts KachelX + 1 37225 KachelY 26641 0.42730952 0.55628692 24.483032 31.872893
    Unten links KachelX 37224 KachelY + 1 26642 0.42721365 0.55620550 24.477539 31.868228
    Unten rechts KachelX + 1 37225 KachelY + 1 26642 0.42730952 0.55620550 24.483032 31.868228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55628692-0.55620550) × R
    8.14199999999987e-05 × 6371000     		dl = 518.726819999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55628692-0.55620550) × R
    8.14199999999987e-05 × 6371000     		dr = 518.726819999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42721365-0.42730952) × cos(0.55628692) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.849221602798346 × 6371000     		do = 518.694169009016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42721365-0.42730952) × cos(0.55620550) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.849264592724852 × 6371000     		du = 518.720426730359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55628692)-sin(0.55620550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849221602798346-0.849264592724852)×R²
    abs(0.42730952-0.42721365)×4.29899265061984e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.29899265061984e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.29899265061984e-05×40589641000000     		ar = 269067.387283234m²