Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37223 / 38769
↖ ↑ ↗
← S 31.283245°
E 24.472046°		 ← 521.99 m → S 31.283245°
E 24.477539°		 →
↑
522.04 m
↓
↑
522.04 m
↓
S 31.287940°
E 24.472046°		 ← 521.96 m →
272 491 m²		 S 31.287940°
E 24.477539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567985534667969 y=0.591575622558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567985534667969 × 216)
    floor (0.567985534667969 × 65536)
    floor (37223.5)     		tx = 37223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591575622558594 × 216)
    floor (0.591575622558594 × 65536)
    floor (38769.5)     		ty = 38769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37223 / 38769 ti = "16/37223/38769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37223/38769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37223 ÷ 216
    37223 ÷ 65536     		x = 0.567977905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38769 ÷ 216
    38769 ÷ 65536     		y = 0.591567993164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567977905273438 × 2 - 1) × π
    0.135955810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42711778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591567993164062 × 2 - 1) × π
    -0.183135986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.575338669239914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42711778} λ = 0.42711778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.575338669239914))-π/2
    2×atan(0.562514330243337)-π/2
    2×0.512400346126259-π/2
    1.02480069225252-1.57079632675     		φ = -0.54599563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42711778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.472046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54599563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.283245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37223 KachelY 38769 0.42711778 -0.54599563 24.472046 -31.283245
    Oben rechts KachelX + 1 37224 KachelY 38769 0.42721365 -0.54599563 24.477539 -31.283245
    Unten links KachelX 37223 KachelY + 1 38770 0.42711778 -0.54607757 24.472046 -31.287940
    Unten rechts KachelX + 1 37224 KachelY + 1 38770 0.42721365 -0.54607757 24.477539 -31.287940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54599563--0.54607757) × R
    8.19400000000581e-05 × 6371000     		dl = 522.03974000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54599563--0.54607757) × R
    8.19400000000581e-05 × 6371000     		dr = 522.03974000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42711778-0.42721365) × cos(-0.54599563) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.854610714427488 × 6371000     		do = 521.985772483261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42711778-0.42721365) × cos(-0.54607757) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.854568162638339 × 6371000     		du = 521.959782370857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54599563)-sin(-0.54607757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854610714427488-0.854568162638339)×R²
    abs(0.42721365-0.42711778)×4.25517891485816e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.25517891485816e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.25517891485816e-05×40589641000000     		ar = 272490.533167799m²