Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37223 / 38377
↖ ↑ ↗
← S 29.425245°
E 24.472046°		 ← 531.99 m → S 29.425245°
E 24.477539°		 →
↑
531.98 m
↓
↑
531.98 m
↓
S 29.430029°
E 24.472046°		 ← 531.97 m →
283 003 m²		 S 29.430029°
E 24.477539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567985534667969 y=0.585594177246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567985534667969 × 216)
    floor (0.567985534667969 × 65536)
    floor (37223.5)     		tx = 37223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585594177246094 × 216)
    floor (0.585594177246094 × 65536)
    floor (38377.5)     		ty = 38377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37223 / 38377 ti = "16/37223/38377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37223/38377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37223 ÷ 216
    37223 ÷ 65536     		x = 0.567977905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38377 ÷ 216
    38377 ÷ 65536     		y = 0.585586547851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567977905273438 × 2 - 1) × π
    0.135955810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42711778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585586547851562 × 2 - 1) × π
    -0.171173095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.53775613993779
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42711778} λ = 0.42711778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.53775613993779))-π/2
    2×atan(0.584057326043622)-π/2
    2×0.528614459302923-π/2
    1.05722891860585-1.57079632675     		φ = -0.51356741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42711778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.472046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51356741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.425245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37223 KachelY 38377 0.42711778 -0.51356741 24.472046 -29.425245
    Oben rechts KachelX + 1 37224 KachelY 38377 0.42721365 -0.51356741 24.477539 -29.425245
    Unten links KachelX 37223 KachelY + 1 38378 0.42711778 -0.51365091 24.472046 -29.430029
    Unten rechts KachelX + 1 37224 KachelY + 1 38378 0.42721365 -0.51365091 24.477539 -29.430029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51356741--0.51365091) × R
    8.35000000000141e-05 × 6371000     		dl = 531.97850000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51356741--0.51365091) × R
    8.35000000000141e-05 × 6371000     		dr = 531.97850000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42711778-0.42721365) × cos(-0.51356741) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.870997429499231 × 6371000     		do = 531.994577639556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42711778-0.42721365) × cos(-0.51365091) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.870956403950661 × 6371000     		du = 531.969519736232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51356741)-sin(-0.51365091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870997429499231-0.870956403950661)×R²
    abs(0.42721365-0.42711778)×4.1025548569662e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.1025548569662e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.1025548569662e-05×40589641000000     		ar = 283003.012452299m²