Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37223 / 30454
↖ ↑ ↗
← N 12.608176°
E 24.472046°		 ← 596.06 m → N 12.608176°
E 24.477539°		 →
↑
596.13 m
↓
↑
596.13 m
↓
N 12.602815°
E 24.472046°		 ← 596.07 m →
355 335 m²		 N 12.602815°
E 24.477539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567985534667969 y=0.464698791503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567985534667969 × 216)
    floor (0.567985534667969 × 65536)
    floor (37223.5)     		tx = 37223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464698791503906 × 216)
    floor (0.464698791503906 × 65536)
    floor (30454.5)     		ty = 30454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37223 / 30454 ti = "16/37223/30454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37223/30454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37223 ÷ 216
    37223 ÷ 65536     		x = 0.567977905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30454 ÷ 216
    30454 ÷ 65536     		y = 0.464691162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567977905273438 × 2 - 1) × π
    0.135955810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42711778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464691162109375 × 2 - 1) × π
    0.07061767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.22185197144162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42711778} λ = 0.42711778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.22185197144162))-π/2
    2×atan(1.24838656732214)-π/2
    2×0.895425256453906-π/2
    1.79085051290781-1.57079632675     		φ = 0.22005419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42711778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.472046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22005419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.608176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37223 KachelY 30454 0.42711778 0.22005419 24.472046 12.608176
    Oben rechts KachelX + 1 37224 KachelY 30454 0.42721365 0.22005419 24.477539 12.608176
    Unten links KachelX 37223 KachelY + 1 30455 0.42711778 0.21996062 24.472046 12.602815
    Unten rechts KachelX + 1 37224 KachelY + 1 30455 0.42721365 0.21996062 24.477539 12.602815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22005419-0.21996062) × R
    9.3570000000015e-05 × 6371000     		dl = 596.134470000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22005419-0.21996062) × R
    9.3570000000015e-05 × 6371000     		dr = 596.134470000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42711778-0.42721365) × cos(0.22005419) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.975885622034448 × 6371000     		do = 596.05900285747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42711778-0.42721365) × cos(0.21996062) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.975906042456457 × 6371000     		du = 596.071475401492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22005419)-sin(0.21996062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975885622034448-0.975906042456457)×R²
    abs(0.42721365-0.42711778)×2.04204220092263e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.04204220092263e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.04204220092263e-05×40589641000000     		ar = 355335.035673146m²