Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37223 / 26816
↖ ↑ ↗
← N 31.052934°
E 24.472046°		 ← 523.26 m → N 31.052934°
E 24.477539°		 →
↑
523.31 m
↓
↑
523.31 m
↓
N 31.048228°
E 24.472046°		 ← 523.28 m →
273 834 m²		 N 31.048228°
E 24.477539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567985534667969 y=0.409187316894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567985534667969 × 216)
    floor (0.567985534667969 × 65536)
    floor (37223.5)     		tx = 37223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409187316894531 × 216)
    floor (0.409187316894531 × 65536)
    floor (26816.5)     		ty = 26816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37223 / 26816 ti = "16/37223/26816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37223/26816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37223 ÷ 216
    37223 ÷ 65536     		x = 0.567977905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26816 ÷ 216
    26816 ÷ 65536     		y = 0.4091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567977905273438 × 2 - 1) × π
    0.135955810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42711778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4091796875 × 2 - 1) × π
    0.181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.570640853077148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42711778} λ = 0.42711778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.570640853077148))-π/2
    2×atan(1.7694006139996)-π/2
    2×1.05638613361796-π/2
    2.11277226723592-1.57079632675     		φ = 0.54197594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42711778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.472046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54197594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.052934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37223 KachelY 26816 0.42711778 0.54197594 24.472046 31.052934
    Oben rechts KachelX + 1 37224 KachelY 26816 0.42721365 0.54197594 24.477539 31.052934
    Unten links KachelX 37223 KachelY + 1 26817 0.42711778 0.54189380 24.472046 31.048228
    Unten rechts KachelX + 1 37224 KachelY + 1 26817 0.42721365 0.54189380 24.477539 31.048228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54197594-0.54189380) × R
    8.21400000000638e-05 × 6371000     		dl = 523.313940000407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54197594-0.54189380) × R
    8.21400000000638e-05 × 6371000     		dr = 523.313940000407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42711778-0.42721365) × cos(0.54197594) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.856691105761415 × 6371000     		do = 523.256450066837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42711778-0.42721365) × cos(0.54189380) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.856733473128452 × 6371000     		du = 523.282327536471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54197594)-sin(0.54189380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856691105761415-0.856733473128452)×R²
    abs(0.42721365-0.42711778)×4.23673670376656e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.23673670376656e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.23673670376656e-05×40589641000000     		ar = 273834.165689158m²