Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37223 / 26812
↖ ↑ ↗
← N 31.071756°
E 24.472046°		 ← 523.15 m → N 31.071756°
E 24.477539°		 →
↑
523.19 m
↓
↑
523.19 m
↓
N 31.067050°
E 24.472046°		 ← 523.18 m →
273 713 m²		 N 31.067050°
E 24.477539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567985534667969 y=0.409126281738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567985534667969 × 216)
    floor (0.567985534667969 × 65536)
    floor (37223.5)     		tx = 37223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409126281738281 × 216)
    floor (0.409126281738281 × 65536)
    floor (26812.5)     		ty = 26812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37223 / 26812 ti = "16/37223/26812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37223/26812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37223 ÷ 216
    37223 ÷ 65536     		x = 0.567977905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26812 ÷ 216
    26812 ÷ 65536     		y = 0.40911865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567977905273438 × 2 - 1) × π
    0.135955810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42711778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40911865234375 × 2 - 1) × π
    0.1817626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.571024348274109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42711778} λ = 0.42711778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.571024348274109))-π/2
    2×atan(1.77007930076481)-π/2
    2×1.05655038583056-π/2
    2.11310077166111-1.57079632675     		φ = 0.54230444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42711778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.472046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54230444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.071756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37223 KachelY 26812 0.42711778 0.54230444 24.472046 31.071756
    Oben rechts KachelX + 1 37224 KachelY 26812 0.42721365 0.54230444 24.477539 31.071756
    Unten links KachelX 37223 KachelY + 1 26813 0.42711778 0.54222232 24.472046 31.067050
    Unten rechts KachelX + 1 37224 KachelY + 1 26813 0.42721365 0.54222232 24.477539 31.067050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54230444-0.54222232) × R
    8.21199999999633e-05 × 6371000     		dl = 523.186519999766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54230444-0.54222232) × R
    8.21199999999633e-05 × 6371000     		dr = 523.186519999766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42711778-0.42721365) × cos(0.54230444) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.856521609462021 × 6371000     		do = 523.152923800107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42711778-0.42721365) × cos(0.54222232) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.856563989622615 × 6371000     		du = 523.178809083889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54230444)-sin(0.54222232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856521609462021-0.856563989622615)×R²
    abs(0.42721365-0.42711778)×4.23801605941021e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.23801605941021e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.23801605941021e-05×40589641000000     		ar = 273713.329200127m²