Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 37223 / 102683
↖ ↑ ↗
← S 70.868991°
W 77.763977°		 ← 100.10 m → S 70.868991°
W 77.761230°		 →
↑
100.09 m
↓
↑
100.09 m
↓
S 70.869891°
W 77.763977°		 ← 100.09 m →
10 018 m²		 S 70.869891°
W 77.761230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283992767333984 y=0.783412933349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283992767333984 × 217)
    floor (0.283992767333984 × 131072)
    floor (37223.5)     		tx = 37223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783412933349609 × 217)
    floor (0.783412933349609 × 131072)
    floor (102683.5)     		ty = 102683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37223 / 102683 ti = "17/37223/102683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37223/102683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37223 ÷ 217
    37223 ÷ 131072     		x = 0.283988952636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102683 ÷ 217
    102683 ÷ 131072     		y = 0.783409118652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283988952636719 × 2 - 1) × π
    -0.432022094726562 × 3.1415926535     		Λ = -1.35723744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783409118652344 × 2 - 1) × π
    -0.566818237304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.78071201018623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.35723744} λ = -1.35723744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78071201018623))-π/2
    2×atan(0.168518117926082)-π/2
    2×0.166949546818773-π/2
    0.333899093637546-1.57079632675     		φ = -1.23689723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.35723744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.763977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23689723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.868991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37223 KachelY 102683 -1.35723744 -1.23689723 -77.763977 -70.868991
    Oben rechts KachelX + 1 37224 KachelY 102683 -1.35718950 -1.23689723 -77.761230 -70.868991
    Unten links KachelX 37223 KachelY + 1 102684 -1.35723744 -1.23691294 -77.763977 -70.869891
    Unten rechts KachelX + 1 37224 KachelY + 1 102684 -1.35718950 -1.23691294 -77.761230 -70.869891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23689723--1.23691294) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dl = 100.088410000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23689723--1.23691294) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dr = 100.088410000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.35723744--1.35718950) × cos(-1.23689723) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327729266515012 × 6371000     		do = 100.096953744939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.35723744--1.35718950) × cos(-1.23691294) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327714424111472 × 6371000     		du = 100.092420492855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23689723)-sin(-1.23691294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327729266515012-0.327714424111472)×R²
    abs(-1.35718950--1.35723744)×1.48424035391614e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48424035391614e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48424035391614e-05×40589641000000     		ar = 10018.3180833436m²