Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37222 / 39282
↖ ↑ ↗
← S 33.660353°
E 24.466553°		 ← 508.43 m → S 33.660353°
E 24.472046°		 →
↑
508.41 m
↓
↑
508.41 m
↓
S 33.664925°
E 24.466553°		 ← 508.41 m →
258 484 m²		 S 33.664925°
E 24.472046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567970275878906 y=0.599403381347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567970275878906 × 216)
    floor (0.567970275878906 × 65536)
    floor (37222.5)     		tx = 37222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599403381347656 × 216)
    floor (0.599403381347656 × 65536)
    floor (39282.5)     		ty = 39282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37222 / 39282 ti = "16/37222/39282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37222/39282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37222 ÷ 216
    37222 ÷ 65536     		x = 0.567962646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39282 ÷ 216
    39282 ÷ 65536     		y = 0.599395751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567962646484375 × 2 - 1) × π
    0.13592529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42702190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599395751953125 × 2 - 1) × π
    -0.19879150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.624521928250092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42702190} λ = 0.42702190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.624521928250092))-π/2
    2×atan(0.535517383064225)-π/2
    2×0.491656168724072-π/2
    0.983312337448144-1.57079632675     		φ = -0.58748399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42702190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.466553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58748399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.660353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37222 KachelY 39282 0.42702190 -0.58748399 24.466553 -33.660353
    Oben rechts KachelX + 1 37223 KachelY 39282 0.42711778 -0.58748399 24.472046 -33.660353
    Unten links KachelX 37222 KachelY + 1 39283 0.42702190 -0.58756379 24.466553 -33.664925
    Unten rechts KachelX + 1 37223 KachelY + 1 39283 0.42711778 -0.58756379 24.472046 -33.664925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58748399--0.58756379) × R
    7.98000000000743e-05 × 6371000     		dl = 508.405800000473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58748399--0.58756379) × R
    7.98000000000743e-05 × 6371000     		dr = 508.405800000473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42702190-0.42711778) × cos(-0.58748399) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.832337857467423 × 6371000     		do = 508.434812093965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42702190-0.42711778) × cos(-0.58756379) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.832293624182284 × 6371000     		du = 508.407792126273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58748399)-sin(-0.58756379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832337857467423-0.832293624182284)×R²
    abs(0.42711778-0.42702190)×4.42332851391392e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.42332851391392e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.42332851391392e-05×40589641000000     		ar = 258484.338973626m²