Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 37222 / 102706
↖ ↑ ↗
← S 70.889683°
W 77.766724°		 ← 99.99 m → S 70.889683°
W 77.763977°		 →
↑
100.02 m
↓
↑
100.02 m
↓
S 70.890583°
W 77.766724°		 ← 99.99 m →
10 002 m²		 S 70.890583°
W 77.763977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283985137939453 y=0.783588409423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283985137939453 × 217)
    floor (0.283985137939453 × 131072)
    floor (37222.5)     		tx = 37222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783588409423828 × 217)
    floor (0.783588409423828 × 131072)
    floor (102706.5)     		ty = 102706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37222 / 102706 ti = "17/37222/102706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37222/102706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37222 ÷ 217
    37222 ÷ 131072     		x = 0.283981323242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102706 ÷ 217
    102706 ÷ 131072     		y = 0.783584594726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283981323242188 × 2 - 1) × π
    -0.432037353515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.35728538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783584594726562 × 2 - 1) × π
    -0.567169189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.78181455887749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.35728538} λ = -1.35728538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78181455887749))-π/2
    2×atan(0.168332420884535)-π/2
    2×0.166768972152144-π/2
    0.333537944304289-1.57079632675     		φ = -1.23725838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.35728538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.766724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23725838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.889683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37222 KachelY 102706 -1.35728538 -1.23725838 -77.766724 -70.889683
    Oben rechts KachelX + 1 37223 KachelY 102706 -1.35723744 -1.23725838 -77.763977 -70.889683
    Unten links KachelX 37222 KachelY + 1 102707 -1.35728538 -1.23727408 -77.766724 -70.890583
    Unten rechts KachelX + 1 37223 KachelY + 1 102707 -1.35723744 -1.23727408 -77.763977 -70.890583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23725838--1.23727408) × R
    1.56999999998408e-05 × 6371000     		dl = 100.024699998986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23725838--1.23727408) × R
    1.56999999998408e-05 × 6371000     		dr = 100.024699998986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.35728538--1.35723744) × cos(-1.23725838) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327388040857341 × 6371000     		do = 99.992734645938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.35728538--1.35723744) × cos(-1.23727408) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327373206044337 × 6371000     		du = 99.9882037121984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23725838)-sin(-1.23727408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327388040857341-0.327373206044337)×R²
    abs(-1.35723744--1.35728538)×1.48348130042386e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48348130042386e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48348130042386e-05×40589641000000     		ar = 10001.5166825518m²