Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37221 / 38799
↖ ↑ ↗
← S 31.423976°
E 24.461060°		 ← 521.21 m → S 31.423976°
E 24.466553°		 →
↑
521.21 m
↓
↑
521.21 m
↓
S 31.428663°
E 24.461060°		 ← 521.18 m →
271 651 m²		 S 31.428663°
E 24.466553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567955017089844 y=0.592033386230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567955017089844 × 216)
    floor (0.567955017089844 × 65536)
    floor (37221.5)     		tx = 37221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592033386230469 × 216)
    floor (0.592033386230469 × 65536)
    floor (38799.5)     		ty = 38799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37221 / 38799 ti = "16/37221/38799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37221/38799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37221 ÷ 216
    37221 ÷ 65536     		x = 0.567947387695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38799 ÷ 216
    38799 ÷ 65536     		y = 0.592025756835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567947387695312 × 2 - 1) × π
    0.135894775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42692603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592025756835938 × 2 - 1) × π
    -0.184051513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.578214883217117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42692603} λ = 0.42692603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.578214883217117))-π/2
    2×atan(0.560898743165142)-π/2
    2×0.511172243057246-π/2
    1.02234448611449-1.57079632675     		φ = -0.54845184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42692603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.461060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54845184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.423976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37221 KachelY 38799 0.42692603 -0.54845184 24.461060 -31.423976
    Oben rechts KachelX + 1 37222 KachelY 38799 0.42702190 -0.54845184 24.466553 -31.423976
    Unten links KachelX 37221 KachelY + 1 38800 0.42692603 -0.54853365 24.461060 -31.428663
    Unten rechts KachelX + 1 37222 KachelY + 1 38800 0.42702190 -0.54853365 24.466553 -31.428663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54845184--0.54853365) × R
    8.180999999996e-05 × 6371000     		dl = 521.211509999745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54845184--0.54853365) × R
    8.180999999996e-05 × 6371000     		dr = 521.211509999745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42692603-0.42702190) × cos(-0.54845184) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.853332703531676 × 6371000     		do = 521.205179058172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42692603-0.42702190) × cos(-0.54853365) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.853290047661569 × 6371000     		du = 521.179125374392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54845184)-sin(-0.54853365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853332703531676-0.853290047661569)×R²
    abs(0.42702190-0.42692603)×4.26558701071e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.26558701071e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.26558701071e-05×40589641000000     		ar = 271651.348808378m²