Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37221 / 28144
↖ ↑ ↗
← N 24.607069°
E 24.461060°		 ← 555.32 m → N 24.607069°
E 24.466553°		 →
↑
555.36 m
↓
↑
555.36 m
↓
N 24.602075°
E 24.461060°		 ← 555.34 m →
308 408 m²		 N 24.602075°
E 24.466553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567955017089844 y=0.429450988769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567955017089844 × 216)
    floor (0.567955017089844 × 65536)
    floor (37221.5)     		tx = 37221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429450988769531 × 216)
    floor (0.429450988769531 × 65536)
    floor (28144.5)     		ty = 28144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37221 / 28144 ti = "16/37221/28144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37221/28144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37221 ÷ 216
    37221 ÷ 65536     		x = 0.567947387695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28144 ÷ 216
    28144 ÷ 65536     		y = 0.429443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567947387695312 × 2 - 1) × π
    0.135894775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42692603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429443359375 × 2 - 1) × π
    0.14111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.443320447686279
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42692603} λ = 0.42692603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.443320447686279))-π/2
    2×atan(1.55787147067226)-π/2
    2×1.00013535125115-π/2
    2.00027070250229-1.57079632675     		φ = 0.42947438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42692603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.461060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42947438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.607069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37221 KachelY 28144 0.42692603 0.42947438 24.461060 24.607069
    Oben rechts KachelX + 1 37222 KachelY 28144 0.42702190 0.42947438 24.466553 24.607069
    Unten links KachelX 37221 KachelY + 1 28145 0.42692603 0.42938721 24.461060 24.602075
    Unten rechts KachelX + 1 37222 KachelY + 1 28145 0.42702190 0.42938721 24.466553 24.602075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42947438-0.42938721) × R
    8.71699999999698e-05 × 6371000     		dl = 555.360069999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42947438-0.42938721) × R
    8.71699999999698e-05 × 6371000     		dr = 555.360069999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42692603-0.42702190) × cos(0.42947438) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.909184739733086 × 6371000     		do = 555.31891969959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42692603-0.42702190) × cos(0.42938721) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.909221033254339 × 6371000     		du = 555.341087338502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42947438)-sin(0.42938721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909184739733086-0.909221033254339)×R²
    abs(0.42702190-0.42692603)×3.62935212531168e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.62935212531168e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.62935212531168e-05×40589641000000     		ar = 308408.109822634m²