Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37221 / 26676
↖ ↑ ↗
← N 31.709477°
E 24.461060°		 ← 519.61 m → N 31.709477°
E 24.466553°		 →
↑
519.68 m
↓
↑
519.68 m
↓
N 31.704803°
E 24.461060°		 ← 519.64 m →
270 040 m²		 N 31.704803°
E 24.466553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567955017089844 y=0.407051086425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567955017089844 × 216)
    floor (0.567955017089844 × 65536)
    floor (37221.5)     		tx = 37221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407051086425781 × 216)
    floor (0.407051086425781 × 65536)
    floor (26676.5)     		ty = 26676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37221 / 26676 ti = "16/37221/26676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37221/26676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37221 ÷ 216
    37221 ÷ 65536     		x = 0.567947387695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26676 ÷ 216
    26676 ÷ 65536     		y = 0.40704345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567947387695312 × 2 - 1) × π
    0.135894775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42692603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40704345703125 × 2 - 1) × π
    0.1859130859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.584063184970764
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42692603} λ = 0.42692603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.584063184970764))-π/2
    2×atan(1.79331019852345)-π/2
    2×1.06211554667317-π/2
    2.12423109334634-1.57079632675     		φ = 0.55343477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42692603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.461060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55343477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.709477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37221 KachelY 26676 0.42692603 0.55343477 24.461060 31.709477
    Oben rechts KachelX + 1 37222 KachelY 26676 0.42702190 0.55343477 24.466553 31.709477
    Unten links KachelX 37221 KachelY + 1 26677 0.42692603 0.55335320 24.461060 31.704803
    Unten rechts KachelX + 1 37222 KachelY + 1 26677 0.42702190 0.55335320 24.466553 31.704803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55343477-0.55335320) × R
    8.15699999999753e-05 × 6371000     		dl = 519.682469999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55343477-0.55335320) × R
    8.15699999999753e-05 × 6371000     		dr = 519.682469999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42692603-0.42702190) × cos(0.55343477) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.850724186290394 × 6371000     		do = 519.611928629363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42692603-0.42702190) × cos(0.55335320) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.85076705766079 × 6371000     		du = 519.638113938084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55343477)-sin(0.55335320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850724186290394-0.85076705766079)×R²
    abs(0.42702190-0.42692603)×4.28713703968242e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.28713703968242e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.28713703968242e-05×40589641000000     		ar = 270040.014683912m²