Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37220 / 38764
↖ ↑ ↗
← S 31.259770°
E 24.455566°		 ← 522.17 m → S 31.259770°
E 24.461060°		 →
↑
522.10 m
↓
↑
522.10 m
↓
S 31.264465°
E 24.455566°		 ← 522.14 m →
272 620 m²		 S 31.264465°
E 24.461060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567939758300781 y=0.591499328613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567939758300781 × 216)
    floor (0.567939758300781 × 65536)
    floor (37220.5)     		tx = 37220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591499328613281 × 216)
    floor (0.591499328613281 × 65536)
    floor (38764.5)     		ty = 38764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37220 / 38764 ti = "16/37220/38764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37220/38764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37220 ÷ 216
    37220 ÷ 65536     		x = 0.56793212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38764 ÷ 216
    38764 ÷ 65536     		y = 0.59149169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56793212890625 × 2 - 1) × π
    0.1358642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42683015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59149169921875 × 2 - 1) × π
    -0.1829833984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.574859300243713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42683015} λ = 0.42683015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.574859300243713))-π/2
    2×atan(0.562784046814891)-π/2
    2×0.512605208556403-π/2
    1.02521041711281-1.57079632675     		φ = -0.54558591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42683015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.455566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54558591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.259770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37220 KachelY 38764 0.42683015 -0.54558591 24.455566 -31.259770
    Oben rechts KachelX + 1 37221 KachelY 38764 0.42692603 -0.54558591 24.461060 -31.259770
    Unten links KachelX 37220 KachelY + 1 38765 0.42683015 -0.54566786 24.455566 -31.264465
    Unten rechts KachelX + 1 37221 KachelY + 1 38765 0.42692603 -0.54566786 24.461060 -31.264465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54558591--0.54566786) × R
    8.19499999999973e-05 × 6371000     		dl = 522.103449999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54558591--0.54566786) × R
    8.19499999999973e-05 × 6371000     		dr = 522.103449999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42683015-0.42692603) × cos(-0.54558591) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.854823397675957 × 6371000     		do = 522.170137608947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42683015-0.42692603) × cos(-0.54566786) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.854780869391155 × 6371000     		du = 522.144159143234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54558591)-sin(-0.54566786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854823397675957-0.854780869391155)×R²
    abs(0.42692603-0.42683015)×4.25282848015573e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.25282848015573e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.25282848015573e-05×40589641000000     		ar = 272620.048761675m²