Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37220 / 26675
↖ ↑ ↗
← N 31.714150°
E 24.455566°		 ← 519.64 m → N 31.714150°
E 24.461060°		 →
↑
519.62 m
↓
↑
519.62 m
↓
N 31.709477°
E 24.455566°		 ← 519.67 m →
270 021 m²		 N 31.709477°
E 24.461060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567939758300781 y=0.407035827636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567939758300781 × 216)
    floor (0.567939758300781 × 65536)
    floor (37220.5)     		tx = 37220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407035827636719 × 216)
    floor (0.407035827636719 × 65536)
    floor (26675.5)     		ty = 26675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37220 / 26675 ti = "16/37220/26675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37220/26675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37220 ÷ 216
    37220 ÷ 65536     		x = 0.56793212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26675 ÷ 216
    26675 ÷ 65536     		y = 0.407028198242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56793212890625 × 2 - 1) × π
    0.1358642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42683015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407028198242188 × 2 - 1) × π
    0.185943603515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.584159058770004
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42683015} λ = 0.42683015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.584159058770004))-π/2
    2×atan(1.79348213822752)-π/2
    2×1.06215632672562-π/2
    2.12431265345124-1.57079632675     		φ = 0.55351633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42683015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.455566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55351633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.714150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37220 KachelY 26675 0.42683015 0.55351633 24.455566 31.714150
    Oben rechts KachelX + 1 37221 KachelY 26675 0.42692603 0.55351633 24.461060 31.714150
    Unten links KachelX 37220 KachelY + 1 26676 0.42683015 0.55343477 24.455566 31.709477
    Unten rechts KachelX + 1 37221 KachelY + 1 26676 0.42692603 0.55343477 24.461060 31.709477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55351633-0.55343477) × R
    8.1560000000036e-05 × 6371000     		dl = 519.61876000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55351633-0.55343477) × R
    8.1560000000036e-05 × 6371000     		dr = 519.61876000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42683015-0.42692603) × cos(0.55351633) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.850681314516381 × 6371000     		do = 519.639939980637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42683015-0.42692603) × cos(0.55343477) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.850724186290394 × 6371000     		du = 519.666128267243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55351633)-sin(0.55343477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850681314516381-0.850724186290394)×R²
    abs(0.42692603-0.42683015)×4.28717740128537e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.28717740128537e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.28717740128537e-05×40589641000000     		ar = 270021.46537161m²