Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37220 / 26646
↖ ↑ ↗
← N 31.849565°
E 24.455566°		 ← 518.88 m → N 31.849565°
E 24.461060°		 →
↑
518.85 m
↓
↑
518.85 m
↓
N 31.844899°
E 24.455566°		 ← 518.91 m →
269 230 m²		 N 31.844899°
E 24.461060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567939758300781 y=0.406593322753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567939758300781 × 216)
    floor (0.567939758300781 × 65536)
    floor (37220.5)     		tx = 37220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406593322753906 × 216)
    floor (0.406593322753906 × 65536)
    floor (26646.5)     		ty = 26646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37220 / 26646 ti = "16/37220/26646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37220/26646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37220 ÷ 216
    37220 ÷ 65536     		x = 0.56793212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26646 ÷ 216
    26646 ÷ 65536     		y = 0.406585693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56793212890625 × 2 - 1) × π
    0.1358642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42683015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406585693359375 × 2 - 1) × π
    0.18682861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.586939398947968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42683015} λ = 0.42683015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.586939398947968))-π/2
    2×atan(1.79847556717374)-π/2
    2×1.06333805354437-π/2
    2.12667610708874-1.57079632675     		φ = 0.55587978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42683015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.455566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55587978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.849565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37220 KachelY 26646 0.42683015 0.55587978 24.455566 31.849565
    Oben rechts KachelX + 1 37221 KachelY 26646 0.42692603 0.55587978 24.461060 31.849565
    Unten links KachelX 37220 KachelY + 1 26647 0.42683015 0.55579834 24.455566 31.844899
    Unten rechts KachelX + 1 37221 KachelY + 1 26647 0.42692603 0.55579834 24.461060 31.844899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55587978-0.55579834) × R
    8.14400000000992e-05 × 6371000     		dl = 518.854240000632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55587978-0.55579834) × R
    8.14400000000992e-05 × 6371000     		dr = 518.854240000632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42683015-0.42692603) × cos(0.55587978) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.849436517236074 × 6371000     		do = 518.879553719662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42683015-0.42692603) × cos(0.55579834) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.849479489559604 × 6371000     		du = 518.905803427089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55587978)-sin(0.55579834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849436517236074-0.849479489559604)×R²
    abs(0.42692603-0.42683015)×4.29723235298995e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.29723235298995e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.29723235298995e-05×40589641000000     		ar = 269229.666532204m²