Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3722 / 3657
↖ ↑ ↗
← S 80.312728°
E147.128906°		 ← 1 644.50 m → S 80.312728°
E147.216797°		 →
↑
1 643.27 m
↓
↑
1 643.27 m
↓
S 80.327506°
E147.128906°		 ← 1 642.02 m →
2 700 327 m²		 S 80.327506°
E147.216797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9088134765625 y=0.8929443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9088134765625 × 212)
    floor (0.9088134765625 × 4096)
    floor (3722.5)     		tx = 3722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8929443359375 × 212)
    floor (0.8929443359375 × 4096)
    floor (3657.5)     		ty = 3657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3722 / 3657 ti = "12/3722/3657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3722/3657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3722 ÷ 212
    3722 ÷ 4096     		x = 0.90869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3657 ÷ 212
    3657 ÷ 4096     		y = 0.892822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90869140625 × 2 - 1) × π
    0.8173828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.56788384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.892822265625 × 2 - 1) × π
    -0.78564453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.46817508763745
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56788384} λ = 2.56788384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.46817508763745))-π/2
    2×atan(0.0847393598888528)-π/2
    2×0.0845373983427441-π/2
    0.169074796685488-1.57079632675     		φ = -1.40172153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56788384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.128906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40172153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.312728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3722 KachelY 3657 2.56788384 -1.40172153 147.128906 -80.312728
    Oben rechts KachelX + 1 3723 KachelY 3657 2.56941782 -1.40172153 147.216797 -80.312728
    Unten links KachelX 3722 KachelY + 1 3658 2.56788384 -1.40197946 147.128906 -80.327506
    Unten rechts KachelX + 1 3723 KachelY + 1 3658 2.56941782 -1.40197946 147.216797 -80.327506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40172153--1.40197946) × R
    0.000257929999999851 × 6371000     		dl = 1643.27202999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40172153--1.40197946) × R
    0.000257929999999851 × 6371000     		dr = 1643.27202999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56788384-2.56941782) × cos(-1.40172153) × R
    0.00153398000000005 × 0.168270410601721 × 6371000     		do = 1644.50446462176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56788384-2.56941782) × cos(-1.40197946) × R
    0.00153398000000005 × 0.168016152863802 × 6371000     		du = 1642.01960716122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40172153)-sin(-1.40197946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168270410601721-0.168016152863802)×R²
    abs(2.56941782-2.56788384)×0.000254257737918706×R²
    0.00153398000000005×0.000254257737918706×6371000²
    0.00153398000000005×0.000254257737918706×40589641000000     		ar = 2700326.55650981m²