Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3722 / 2698
↖ ↑ ↗
← N 76.132429°
W 98.217773°		 ← 585.59 m → N 76.132429°
W 98.195801°		 →
↑
585.69 m
↓
↑
585.69 m
↓
N 76.127162°
W 98.217773°		 ← 585.80 m →
343 034 m²		 N 76.127162°
W 98.195801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227203369140625 y=0.164703369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227203369140625 × 214)
    floor (0.227203369140625 × 16384)
    floor (3722.5)     		tx = 3722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164703369140625 × 214)
    floor (0.164703369140625 × 16384)
    floor (2698.5)     		ty = 2698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3722 / 2698 ti = "14/3722/2698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3722/2698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3722 ÷ 214
    3722 ÷ 16384     		x = 0.2271728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2698 ÷ 214
    2698 ÷ 16384     		y = 0.1646728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2271728515625 × 2 - 1) × π
    -0.545654296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71422353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1646728515625 × 2 - 1) × π
    0.670654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10692261210071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71422353} λ = -1.71422353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10692261210071))-π/2
    2×atan(8.22289726340035)-π/2
    2×1.4497789457318-π/2
    2.89955789146361-1.57079632675     		φ = 1.32876156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71422353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.217773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32876156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.132429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3722 KachelY 2698 -1.71422353 1.32876156 -98.217773 76.132429
    Oben rechts KachelX + 1 3723 KachelY 2698 -1.71384004 1.32876156 -98.195801 76.132429
    Unten links KachelX 3722 KachelY + 1 2699 -1.71422353 1.32866963 -98.217773 76.127162
    Unten rechts KachelX + 1 3723 KachelY + 1 2699 -1.71384004 1.32866963 -98.195801 76.127162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32876156-1.32866963) × R
    9.19299999999623e-05 × 6371000     		dl = 585.68602999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32876156-1.32866963) × R
    9.19299999999623e-05 × 6371000     		dr = 585.68602999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71422353--1.71384004) × cos(1.32876156) × R
    0.000383489999999931 × 0.239678579244088 × 6371000     		do = 585.586249655237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71422353--1.71384004) × cos(1.32866963) × R
    0.000383489999999931 × 0.239767828682662 × 6371000     		du = 585.804305203561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32876156)-sin(1.32866963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239678579244088-0.239767828682662)×R²
    abs(-1.71384004--1.71422353)×8.92494385741904e-05×R²
    0.000383489999999931×8.92494385741904e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.92494385741904e-05×40589641000000     		ar = 343033.542069048m²