Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3722 / 1932
↖ ↑ ↗
← N 68.463800°
W 16.435547°		 ← 1 793.78 m → N 68.463800°
W 16.391602°		 →
↑
1 794.39 m
↓
↑
1 794.39 m
↓
N 68.447662°
W 16.435547°		 ← 1 795.06 m →
3 219 890 m²		 N 68.447662°
W 16.391602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45440673828125 y=0.23590087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45440673828125 × 213)
    floor (0.45440673828125 × 8192)
    floor (3722.5)     		tx = 3722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23590087890625 × 213)
    floor (0.23590087890625 × 8192)
    floor (1932.5)     		ty = 1932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3722 / 1932 ti = "13/3722/1932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3722/1932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3722 ÷ 213
    3722 ÷ 8192     		x = 0.454345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1932 ÷ 213
    1932 ÷ 8192     		y = 0.23583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454345703125 × 2 - 1) × π
    -0.09130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28685441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23583984375 × 2 - 1) × π
    0.5283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.65976721244482
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28685441} λ = -0.28685441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65976721244482))-π/2
    2×atan(5.2580866848236)-π/2
    2×1.3828575237206-π/2
    2.76571504744121-1.57079632675     		φ = 1.19491872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28685441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.435547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19491872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.463800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3722 KachelY 1932 -0.28685441 1.19491872 -16.435547 68.463800
    Oben rechts KachelX + 1 3723 KachelY 1932 -0.28608742 1.19491872 -16.391602 68.463800
    Unten links KachelX 3722 KachelY + 1 1933 -0.28685441 1.19463707 -16.435547 68.447662
    Unten rechts KachelX + 1 3723 KachelY + 1 1933 -0.28608742 1.19463707 -16.391602 68.447662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19491872-1.19463707) × R
    0.000281650000000022 × 6371000     		dl = 1794.39215000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19491872-1.19463707) × R
    0.000281650000000022 × 6371000     		dr = 1794.39215000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28685441--0.28608742) × cos(1.19491872) × R
    0.000766990000000023 × 0.367089007742529 × 6371000     		do = 1793.77797316668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28685441--0.28608742) × cos(1.19463707) × R
    0.000766990000000023 × 0.367350980015386 × 6371000     		du = 1795.05809892016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19491872)-sin(1.19463707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367089007742529-0.367350980015386)×R²
    abs(-0.28608742--0.28685441)×0.000261972272856181×R²
    0.000766990000000023×0.000261972272856181×6371000²
    0.000766990000000023×0.000261972272856181×40589641000000     		ar = 3219889.65898234m²