Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37219 / 38802
↖ ↑ ↗
← S 31.438037°
E 24.450073°		 ← 521.13 m → S 31.438037°
E 24.455566°		 →
↑
521.15 m
↓
↑
521.15 m
↓
S 31.442724°
E 24.450073°		 ← 521.10 m →
271 577 m²		 S 31.442724°
E 24.455566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567924499511719 y=0.592079162597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567924499511719 × 216)
    floor (0.567924499511719 × 65536)
    floor (37219.5)     		tx = 37219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592079162597656 × 216)
    floor (0.592079162597656 × 65536)
    floor (38802.5)     		ty = 38802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37219 / 38802 ti = "16/37219/38802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37219/38802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37219 ÷ 216
    37219 ÷ 65536     		x = 0.567916870117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38802 ÷ 216
    38802 ÷ 65536     		y = 0.592071533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567916870117188 × 2 - 1) × π
    0.135833740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42673428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592071533203125 × 2 - 1) × π
    -0.18414306640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.578502504614838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42673428} λ = 0.42673428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.578502504614838))-π/2
    2×atan(0.560737439882903)-π/2
    2×0.511049533886806-π/2
    1.02209906777361-1.57079632675     		φ = -0.54869726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42673428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.450073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54869726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.438037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37219 KachelY 38802 0.42673428 -0.54869726 24.450073 -31.438037
    Oben rechts KachelX + 1 37220 KachelY 38802 0.42683015 -0.54869726 24.455566 -31.438037
    Unten links KachelX 37219 KachelY + 1 38803 0.42673428 -0.54877906 24.450073 -31.442724
    Unten rechts KachelX + 1 37220 KachelY + 1 38803 0.42683015 -0.54877906 24.455566 -31.442724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54869726--0.54877906) × R
    8.18000000000207e-05 × 6371000     		dl = 521.147800000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54869726--0.54877906) × R
    8.18000000000207e-05 × 6371000     		dr = 521.147800000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42673428-0.42683015) × cos(-0.54869726) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.853204724004508 × 6371000     		do = 521.127010728168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42673428-0.42683015) × cos(-0.54877906) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.853162056219522 × 6371000     		du = 521.100949766925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54869726)-sin(-0.54877906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853204724004508-0.853162056219522)×R²
    abs(0.42683015-0.42673428)×4.26677849866275e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.26677849866275e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.26677849866275e-05×40589641000000     		ar = 271577.404506901m²