Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37219 / 38773
↖ ↑ ↗
← S 31.302022°
E 24.450073°		 ← 521.88 m → S 31.302022°
E 24.455566°		 →
↑
521.91 m
↓
↑
521.91 m
↓
S 31.306715°
E 24.450073°		 ← 521.86 m →
272 370 m²		 S 31.306715°
E 24.455566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567924499511719 y=0.591636657714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567924499511719 × 216)
    floor (0.567924499511719 × 65536)
    floor (37219.5)     		tx = 37219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591636657714844 × 216)
    floor (0.591636657714844 × 65536)
    floor (38773.5)     		ty = 38773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37219 / 38773 ti = "16/37219/38773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37219/38773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37219 ÷ 216
    37219 ÷ 65536     		x = 0.567916870117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38773 ÷ 216
    38773 ÷ 65536     		y = 0.591629028320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567916870117188 × 2 - 1) × π
    0.135833740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42673428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591629028320312 × 2 - 1) × π
    -0.183258056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.575722164436874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42673428} λ = 0.42673428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.575722164436874))-π/2
    2×atan(0.562298650058269)-π/2
    2×0.512236492892701-π/2
    1.0244729857854-1.57079632675     		φ = -0.54632334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42673428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.450073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54632334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.302022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37219 KachelY 38773 0.42673428 -0.54632334 24.450073 -31.302022
    Oben rechts KachelX + 1 37220 KachelY 38773 0.42683015 -0.54632334 24.455566 -31.302022
    Unten links KachelX 37219 KachelY + 1 38774 0.42673428 -0.54640526 24.450073 -31.306715
    Unten rechts KachelX + 1 37220 KachelY + 1 38774 0.42683015 -0.54640526 24.455566 -31.306715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54632334--0.54640526) × R
    8.19199999999576e-05 × 6371000     		dl = 521.91231999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54632334--0.54640526) × R
    8.19199999999576e-05 × 6371000     		dr = 521.91231999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42673428-0.42683015) × cos(-0.54632334) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.854440498823238 × 6371000     		do = 521.881806873922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42673428-0.42683015) × cos(-0.54640526) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.854397934480848 × 6371000     		du = 521.855809094152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54632334)-sin(-0.54640526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854440498823238-0.854397934480848)×R²
    abs(0.42683015-0.42673428)×4.25643423900279e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.25643423900279e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.25643423900279e-05×40589641000000     		ar = 272369.760462835m²