Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37219 / 26728
↖ ↑ ↗
← N 31.466154°
E 24.450073°		 ← 520.97 m → N 31.466154°
E 24.455566°		 →
↑
521.02 m
↓
↑
521.02 m
↓
N 31.461468°
E 24.450073°		 ← 521 m →
271 443 m²		 N 31.461468°
E 24.455566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567924499511719 y=0.407844543457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567924499511719 × 216)
    floor (0.567924499511719 × 65536)
    floor (37219.5)     		tx = 37219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407844543457031 × 216)
    floor (0.407844543457031 × 65536)
    floor (26728.5)     		ty = 26728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37219 / 26728 ti = "16/37219/26728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37219/26728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37219 ÷ 216
    37219 ÷ 65536     		x = 0.567916870117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26728 ÷ 216
    26728 ÷ 65536     		y = 0.4078369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567916870117188 × 2 - 1) × π
    0.135833740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42673428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4078369140625 × 2 - 1) × π
    0.184326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.579077747410278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42673428} λ = 0.42673428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.579077747410278))-π/2
    2×atan(1.78439201150587)-π/2
    2×1.0599921560233-π/2
    2.1199843120466-1.57079632675     		φ = 0.54918799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42673428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.450073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54918799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.466154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37219 KachelY 26728 0.42673428 0.54918799 24.450073 31.466154
    Oben rechts KachelX + 1 37220 KachelY 26728 0.42683015 0.54918799 24.455566 31.466154
    Unten links KachelX 37219 KachelY + 1 26729 0.42673428 0.54910621 24.450073 31.461468
    Unten rechts KachelX + 1 37220 KachelY + 1 26729 0.42683015 0.54910621 24.455566 31.461468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54918799-0.54910621) × R
    8.17799999999202e-05 × 6371000     		dl = 521.020379999492m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54918799-0.54910621) × R
    8.17799999999202e-05 × 6371000     		dr = 521.020379999492m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42673428-0.42683015) × cos(0.54918799) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.852948668209257 × 6371000     		do = 520.97061497999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42673428-0.42683015) × cos(0.54910621) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.852991354091563 × 6371000     		du = 520.996686994855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54918799)-sin(0.54910621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852948668209257-0.852991354091563)×R²
    abs(0.42683015-0.42673428)×4.26858823063814e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.26858823063814e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.26858823063814e-05×40589641000000     		ar = 271443.099962114m²