Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37217 / 38385
↖ ↑ ↗
← S 29.463514°
E 24.439087°		 ← 531.85 m → S 29.463514°
E 24.444580°		 →
↑
531.79 m
↓
↑
531.79 m
↓
S 29.468297°
E 24.439087°		 ← 531.82 m →
282 824 m²		 S 29.468297°
E 24.444580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567893981933594 y=0.585716247558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567893981933594 × 216)
    floor (0.567893981933594 × 65536)
    floor (37217.5)     		tx = 37217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585716247558594 × 216)
    floor (0.585716247558594 × 65536)
    floor (38385.5)     		ty = 38385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37217 / 38385 ti = "16/37217/38385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37217/38385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37217 ÷ 216
    37217 ÷ 65536     		x = 0.567886352539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38385 ÷ 216
    38385 ÷ 65536     		y = 0.585708618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567886352539062 × 2 - 1) × π
    0.135772705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42654253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585708618164062 × 2 - 1) × π
    -0.171417236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.538523130331711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42654253} λ = 0.42654253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.538523130331711))-π/2
    2×atan(0.583609531434081)-π/2
    2×0.528280498920875-π/2
    1.05656099784175-1.57079632675     		φ = -0.51423533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42654253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.439087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51423533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.463514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37217 KachelY 38385 0.42654253 -0.51423533 24.439087 -29.463514
    Oben rechts KachelX + 1 37218 KachelY 38385 0.42663841 -0.51423533 24.444580 -29.463514
    Unten links KachelX 37217 KachelY + 1 38386 0.42654253 -0.51431880 24.439087 -29.468297
    Unten rechts KachelX + 1 37218 KachelY + 1 38386 0.42663841 -0.51431880 24.444580 -29.468297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51423533--0.51431880) × R
    8.34699999999744e-05 × 6371000     		dl = 531.787369999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51423533--0.51431880) × R
    8.34699999999744e-05 × 6371000     		dr = 531.787369999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42654253-0.42663841) × cos(-0.51423533) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.870669094445516 × 6371000     		do = 531.84950493257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42654253-0.42663841) × cos(-0.51431880) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.870628035088825 × 6371000     		du = 531.824423763768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51423533)-sin(-0.51431880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870669094445516-0.870628035088825)×R²
    abs(0.42663841-0.42654253)×4.10593566900763e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.10593566900763e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.10593566900763e-05×40589641000000     		ar = 282824.18070353m²