Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37216 / 38368
↖ ↑ ↗
← S 29.382175°
E 24.433594°		 ← 532.22 m → S 29.382175°
E 24.439087°		 →
↑
532.23 m
↓
↑
532.23 m
↓
S 29.386962°
E 24.433594°		 ← 532.19 m →
283 259 m²		 S 29.386962°
E 24.439087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567878723144531 y=0.585456848144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567878723144531 × 216)
    floor (0.567878723144531 × 65536)
    floor (37216.5)     		tx = 37216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585456848144531 × 216)
    floor (0.585456848144531 × 65536)
    floor (38368.5)     		ty = 38368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37216 / 38368 ti = "16/37216/38368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37216/38368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37216 ÷ 216
    37216 ÷ 65536     		x = 0.56787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38368 ÷ 216
    38368 ÷ 65536     		y = 0.58544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56787109375 × 2 - 1) × π
    0.1357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42644666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58544921875 × 2 - 1) × π
    -0.1708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.536893275744629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42644666} λ = 0.42644666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.536893275744629))-π/2
    2×atan(0.584561505685016)-π/2
    2×0.528990315174785-π/2
    1.05798063034957-1.57079632675     		φ = -0.51281570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42644666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.433594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51281570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.382175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37216 KachelY 38368 0.42644666 -0.51281570 24.433594 -29.382175
    Oben rechts KachelX + 1 37217 KachelY 38368 0.42654253 -0.51281570 24.439087 -29.382175
    Unten links KachelX 37216 KachelY + 1 38369 0.42644666 -0.51289924 24.433594 -29.386962
    Unten rechts KachelX + 1 37217 KachelY + 1 38369 0.42654253 -0.51289924 24.439087 -29.386962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51281570--0.51289924) × R
    8.35399999999931e-05 × 6371000     		dl = 532.233339999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51281570--0.51289924) × R
    8.35399999999931e-05 × 6371000     		dr = 532.233339999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42644666-0.42654253) × cos(-0.51281570) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.871366489158399 × 6371000     		do = 532.219994765776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42644666-0.42654253) × cos(-0.51289924) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.871325498662489 × 6371000     		du = 532.194958272188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51281570)-sin(-0.51289924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871366489158399-0.871325498662489)×R²
    abs(0.42654253-0.42644666)×4.09904959105534e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.09904959105534e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.09904959105534e-05×40589641000000     		ar = 283258.562965221m²