Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37214 / 26810
↖ ↑ ↗
← N 31.081165°
E 24.422607°		 ← 523.16 m → N 31.081165°
E 24.428101°		 →
↑
523.12 m
↓
↑
523.12 m
↓
N 31.076461°
E 24.422607°		 ← 523.18 m →
273 681 m²		 N 31.076461°
E 24.428101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567848205566406 y=0.409095764160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567848205566406 × 216)
    floor (0.567848205566406 × 65536)
    floor (37214.5)     		tx = 37214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409095764160156 × 216)
    floor (0.409095764160156 × 65536)
    floor (26810.5)     		ty = 26810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37214 / 26810 ti = "16/37214/26810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37214/26810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37214 ÷ 216
    37214 ÷ 65536     		x = 0.567840576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26810 ÷ 216
    26810 ÷ 65536     		y = 0.409088134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567840576171875 × 2 - 1) × π
    0.13568115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42625491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409088134765625 × 2 - 1) × π
    0.18182373046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.571216095872589
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42625491} λ = 0.42625491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.571216095872589))-π/2
    2×atan(1.77041874176231)-π/2
    2×1.05663249974759-π/2
    2.11326499949517-1.57079632675     		φ = 0.54246867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42625491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.422607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54246867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.081165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37214 KachelY 26810 0.42625491 0.54246867 24.422607 31.081165
    Oben rechts KachelX + 1 37215 KachelY 26810 0.42635079 0.54246867 24.428101 31.081165
    Unten links KachelX 37214 KachelY + 1 26811 0.42625491 0.54238656 24.422607 31.076461
    Unten rechts KachelX + 1 37215 KachelY + 1 26811 0.42635079 0.54238656 24.428101 31.076461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54246867-0.54238656) × R
    8.21100000000241e-05 × 6371000     		dl = 523.122810000154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54246867-0.54238656) × R
    8.21100000000241e-05 × 6371000     		dr = 523.122810000154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42625491-0.42635079) × cos(0.54246867) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.856436836975277 × 6371000     		do = 523.155709392826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42625491-0.42635079) × cos(0.54238656) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.856479223525307 × 6371000     		du = 523.181601279644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54246867)-sin(0.54238656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856436836975277-0.856479223525307)×R²
    abs(0.42635079-0.42625491)×4.23865500298604e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.23865500298604e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.23865500298604e-05×40589641000000     		ar = 273681.457237203m²