Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37214 / 26681
↖ ↑ ↗
← N 31.686107°
E 24.422607°		 ← 519.80 m → N 31.686107°
E 24.428101°		 →
↑
519.75 m
↓
↑
519.75 m
↓
N 31.681433°
E 24.422607°		 ← 519.82 m →
270 169 m²		 N 31.681433°
E 24.428101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567848205566406 y=0.407127380371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567848205566406 × 216)
    floor (0.567848205566406 × 65536)
    floor (37214.5)     		tx = 37214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407127380371094 × 216)
    floor (0.407127380371094 × 65536)
    floor (26681.5)     		ty = 26681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37214 / 26681 ti = "16/37214/26681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37214/26681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37214 ÷ 216
    37214 ÷ 65536     		x = 0.567840576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26681 ÷ 216
    26681 ÷ 65536     		y = 0.407119750976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567840576171875 × 2 - 1) × π
    0.13568115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42625491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407119750976562 × 2 - 1) × π
    0.185760498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.583583815974564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42625491} λ = 0.42625491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.583583815974564))-π/2
    2×atan(1.79245074722732)-π/2
    2×1.06191161558838-π/2
    2.12382323117677-1.57079632675     		φ = 0.55302690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42625491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.422607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55302690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.686107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37214 KachelY 26681 0.42625491 0.55302690 24.422607 31.686107
    Oben rechts KachelX + 1 37215 KachelY 26681 0.42635079 0.55302690 24.428101 31.686107
    Unten links KachelX 37214 KachelY + 1 26682 0.42625491 0.55294532 24.422607 31.681433
    Unten rechts KachelX + 1 37215 KachelY + 1 26682 0.42635079 0.55294532 24.428101 31.681433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55302690-0.55294532) × R
    8.15800000000255e-05 × 6371000     		dl = 519.746180000163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55302690-0.55294532) × R
    8.15800000000255e-05 × 6371000     		dr = 519.746180000163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42625491-0.42635079) × cos(0.55302690) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.850938497037643 × 6371000     		do = 519.79704030438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42625491-0.42635079) × cos(0.55294532) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.850981345352165 × 6371000     		du = 519.823214260721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55302690)-sin(0.55294532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850938497037643-0.850981345352165)×R²
    abs(0.42635079-0.42625491)×4.28483145213931e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.28483145213931e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.28483145213931e-05×40589641000000     		ar = 270169.328130115m²