Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37212 / 39100
↖ ↑ ↗
← S 32.824211°
E 24.411621°		 ← 513.32 m → S 32.824211°
E 24.417114°		 →
↑
513.25 m
↓
↑
513.25 m
↓
S 32.828827°
E 24.411621°		 ← 513.29 m →
263 454 m²		 S 32.828827°
E 24.417114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567817687988281 y=0.596626281738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567817687988281 × 216)
    floor (0.567817687988281 × 65536)
    floor (37212.5)     		tx = 37212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596626281738281 × 216)
    floor (0.596626281738281 × 65536)
    floor (39100.5)     		ty = 39100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37212 / 39100 ti = "16/37212/39100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37212/39100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37212 ÷ 216
    37212 ÷ 65536     		x = 0.56781005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39100 ÷ 216
    39100 ÷ 65536     		y = 0.59661865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56781005859375 × 2 - 1) × π
    0.1356201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42606316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59661865234375 × 2 - 1) × π
    -0.1932373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.607072896788391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42606316} λ = 0.42606316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.607072896788391))-π/2
    2×atan(0.544943643118176)-π/2
    2×0.498952884358325-π/2
    0.99790576871665-1.57079632675     		φ = -0.57289056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42606316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.411621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57289056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.824211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37212 KachelY 39100 0.42606316 -0.57289056 24.411621 -32.824211
    Oben rechts KachelX + 1 37213 KachelY 39100 0.42615904 -0.57289056 24.417114 -32.824211
    Unten links KachelX 37212 KachelY + 1 39101 0.42606316 -0.57297112 24.411621 -32.828827
    Unten rechts KachelX + 1 37213 KachelY + 1 39101 0.42615904 -0.57297112 24.417114 -32.828827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57289056--0.57297112) × R
    8.05599999998963e-05 × 6371000     		dl = 513.247759999339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57289056--0.57297112) × R
    8.05599999998963e-05 × 6371000     		dr = 513.247759999339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42606316-0.42615904) × cos(-0.57289056) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.84033762133886 × 6371000     		do = 513.321479694483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42606316-0.42615904) × cos(-0.57297112) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.84029394998807 × 6371000     		du = 513.294802985219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57289056)-sin(-0.57297112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84033762133886-0.84029394998807)×R²
    abs(0.42615904-0.42606316)×4.36713507895314e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.36713507895314e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.36713507895314e-05×40589641000000     		ar = 263454.253874898m²