Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37211 / 27693
↖ ↑ ↗
← N 26.838776°
E 24.406128°		 ← 544.99 m → N 26.838776°
E 24.411621°		 →
↑
545.04 m
↓
↑
545.04 m
↓
N 26.833874°
E 24.406128°		 ← 545.02 m →
297 049 m²		 N 26.833874°
E 24.411621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567802429199219 y=0.422569274902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567802429199219 × 216)
    floor (0.567802429199219 × 65536)
    floor (37211.5)     		tx = 37211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422569274902344 × 216)
    floor (0.422569274902344 × 65536)
    floor (27693.5)     		ty = 27693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37211 / 27693 ti = "16/37211/27693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37211/27693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37211 ÷ 216
    37211 ÷ 65536     		x = 0.567794799804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27693 ÷ 216
    27693 ÷ 65536     		y = 0.422561645507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567794799804688 × 2 - 1) × π
    0.135589599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42596729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422561645507812 × 2 - 1) × π
    0.154876708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.48655953114357
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42596729} λ = 0.42596729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.48655953114357))-π/2
    2×atan(1.62670993648866)-π/2
    2×1.01961066815381-π/2
    2.03922133630763-1.57079632675     		φ = 0.46842501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42596729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.406128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46842501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.838776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37211 KachelY 27693 0.42596729 0.46842501 24.406128 26.838776
    Oben rechts KachelX + 1 37212 KachelY 27693 0.42606316 0.46842501 24.411621 26.838776
    Unten links KachelX 37211 KachelY + 1 27694 0.42596729 0.46833946 24.406128 26.833874
    Unten rechts KachelX + 1 37212 KachelY + 1 27694 0.42606316 0.46833946 24.411621 26.833874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46842501-0.46833946) × R
    8.55499999999898e-05 × 6371000     		dl = 545.039049999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46842501-0.46833946) × R
    8.55499999999898e-05 × 6371000     		dr = 545.039049999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42596729-0.42606316) × cos(0.46842501) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.892280473462019 × 6371000     		do = 544.994000600399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42596729-0.42606316) × cos(0.46833946) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.892319094440206 × 6371000     		du = 545.017589821541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46842501)-sin(0.46833946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892280473462019-0.892319094440206)×R²
    abs(0.42606316-0.42596729)×3.86209781870761e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.86209781870761e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.86209781870761e-05×40589641000000     		ar = 297049.441047599m²