Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37211 / 26679
↖ ↑ ↗
← N 31.695456°
E 24.406128°		 ← 519.69 m → N 31.695456°
E 24.411621°		 →
↑
519.68 m
↓
↑
519.68 m
↓
N 31.690782°
E 24.406128°		 ← 519.72 m →
270 081 m²		 N 31.690782°
E 24.411621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567802429199219 y=0.407096862792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567802429199219 × 216)
    floor (0.567802429199219 × 65536)
    floor (37211.5)     		tx = 37211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407096862792969 × 216)
    floor (0.407096862792969 × 65536)
    floor (26679.5)     		ty = 26679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37211 / 26679 ti = "16/37211/26679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37211/26679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37211 ÷ 216
    37211 ÷ 65536     		x = 0.567794799804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26679 ÷ 216
    26679 ÷ 65536     		y = 0.407089233398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567794799804688 × 2 - 1) × π
    0.135589599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42596729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407089233398438 × 2 - 1) × π
    0.185821533203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.583775563573044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42596729} λ = 0.42596729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.583775563573044))-π/2
    2×atan(1.79279447830724)-π/2
    2×1.06199319418613-π/2
    2.12398638837226-1.57079632675     		φ = 0.55319006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42596729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.406128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55319006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.695456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37211 KachelY 26679 0.42596729 0.55319006 24.406128 31.695456
    Oben rechts KachelX + 1 37212 KachelY 26679 0.42606316 0.55319006 24.411621 31.695456
    Unten links KachelX 37211 KachelY + 1 26680 0.42596729 0.55310849 24.406128 31.690782
    Unten rechts KachelX + 1 37212 KachelY + 1 26680 0.42606316 0.55310849 24.411621 31.690782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55319006-0.55310849) × R
    8.15700000000863e-05 × 6371000     		dl = 519.68247000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55319006-0.55310849) × R
    8.15700000000863e-05 × 6371000     		dr = 519.68247000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42596729-0.42606316) × cos(0.55319006) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.850852783419142 × 6371000     		do = 519.690474182859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42596729-0.42606316) × cos(0.55310849) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.850895637806526 × 6371000     		du = 519.716649118565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55319006)-sin(0.55310849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850852783419142-0.850895637806526)×R²
    abs(0.42606316-0.42596729)×4.28543873844944e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.28543873844944e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.28543873844944e-05×40589641000000     		ar = 270080.830736228m²