Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3721 / 5301
↖ ↑ ↗
← S 46.709736°
W 16.479492°		 ← 3 350.64 m → S 46.709736°
W 16.435547°		 →
↑
3 349.74 m
↓
↑
3 349.74 m
↓
S 46.739861°
W 16.479492°		 ← 3 348.77 m →
11 220 663 m²		 S 46.739861°
W 16.435547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45428466796875 y=0.64715576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45428466796875 × 213)
    floor (0.45428466796875 × 8192)
    floor (3721.5)     		tx = 3721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64715576171875 × 213)
    floor (0.64715576171875 × 8192)
    floor (5301.5)     		ty = 5301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3721 / 5301 ti = "13/3721/5301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3721/5301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3721 ÷ 213
    3721 ÷ 8192     		x = 0.4542236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5301 ÷ 213
    5301 ÷ 8192     		y = 0.6470947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4542236328125 × 2 - 1) × π
    -0.091552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28762140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6470947265625 × 2 - 1) × π
    -0.294189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.924223424674683
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28762140} λ = -0.28762140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.924223424674683))-π/2
    2×atan(0.396839475189667)-π/2
    2×0.37777882092591-π/2
    0.755557641851819-1.57079632675     		φ = -0.81523868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28762140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.479492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81523868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.709736°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3721 KachelY 5301 -0.28762140 -0.81523868 -16.479492 -46.709736
    Oben rechts KachelX + 1 3722 KachelY 5301 -0.28685441 -0.81523868 -16.435547 -46.709736
    Unten links KachelX 3721 KachelY + 1 5302 -0.28762140 -0.81576446 -16.479492 -46.739861
    Unten rechts KachelX + 1 3722 KachelY + 1 5302 -0.28685441 -0.81576446 -16.435547 -46.739861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81523868--0.81576446) × R
    0.000525780000000031 × 6371000     		dl = 3349.7443800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81523868--0.81576446) × R
    0.000525780000000031 × 6371000     		dr = 3349.7443800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28762140--0.28685441) × cos(-0.81523868) × R
    0.000766990000000023 × 0.685694680376189 × 6371000     		do = 3350.64245464704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28762140--0.28685441) × cos(-0.81576446) × R
    0.000766990000000023 × 0.685311875989394 × 6371000     		du = 3348.77188357959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81523868)-sin(-0.81576446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685694680376189-0.685311875989394)×R²
    abs(-0.28685441--0.28762140)×0.000382804386794944×R²
    0.000766990000000023×0.000382804386794944×6371000²
    0.000766990000000023×0.000382804386794944×40589641000000     		ar = 11220663.0228739m²