Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3721 / 3737
↖ ↑ ↗
← N 69.465263°
W 98.239746°		 ← 857.04 m → N 69.465263°
W 98.217773°		 →
↑
857.22 m
↓
↑
857.22 m
↓
N 69.457554°
W 98.239746°		 ← 857.35 m →
734 803 m²		 N 69.457554°
W 98.217773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227142333984375 y=0.228118896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227142333984375 × 214)
    floor (0.227142333984375 × 16384)
    floor (3721.5)     		tx = 3721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228118896484375 × 214)
    floor (0.228118896484375 × 16384)
    floor (3737.5)     		ty = 3737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3721 / 3737 ti = "14/3721/3737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3721/3737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3721 ÷ 214
    3721 ÷ 16384     		x = 0.22711181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3737 ÷ 214
    3737 ÷ 16384     		y = 0.22808837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22711181640625 × 2 - 1) × π
    -0.5457763671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71460703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22808837890625 × 2 - 1) × π
    0.5438232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.7084711024588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71460703} λ = -1.71460703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7084711024588))-π/2
    2×atan(5.52051472077375)-π/2
    2×1.39159693625267-π/2
    2.78319387250535-1.57079632675     		φ = 1.21239755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71460703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.239746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21239755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.465263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3721 KachelY 3737 -1.71460703 1.21239755 -98.239746 69.465263
    Oben rechts KachelX + 1 3722 KachelY 3737 -1.71422353 1.21239755 -98.217773 69.465263
    Unten links KachelX 3721 KachelY + 1 3738 -1.71460703 1.21226300 -98.239746 69.457554
    Unten rechts KachelX + 1 3722 KachelY + 1 3738 -1.71422353 1.21226300 -98.217773 69.457554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21239755-1.21226300) × R
    0.000134549999999845 × 6371000     		dl = 857.218049999009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21239755-1.21226300) × R
    0.000134549999999845 × 6371000     		dr = 857.218049999009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71460703--1.71422353) × cos(1.21239755) × R
    0.000383500000000092 × 0.350775202603175 × 6371000     		do = 857.041510853687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71460703--1.71422353) × cos(1.21226300) × R
    0.000383500000000092 × 0.350901200079368 × 6371000     		du = 857.349357778323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21239755)-sin(1.21226300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350775202603175-0.350901200079368)×R²
    abs(-1.71422353--1.71460703)×0.000125997476192796×R²
    0.000383500000000092×0.000125997476192796×6371000²
    0.000383500000000092×0.000125997476192796×40589641000000     		ar = 734803.399781065m²