Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37209 / 27697
↖ ↑ ↗
← N 26.819168°
E 24.395141°		 ← 545.15 m → N 26.819168°
E 24.400635°		 →
↑
545.10 m
↓
↑
545.10 m
↓
N 26.814266°
E 24.395141°		 ← 545.17 m →
297 167 m²		 N 26.814266°
E 24.400635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567771911621094 y=0.422630310058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567771911621094 × 216)
    floor (0.567771911621094 × 65536)
    floor (37209.5)     		tx = 37209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422630310058594 × 216)
    floor (0.422630310058594 × 65536)
    floor (27697.5)     		ty = 27697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37209 / 27697 ti = "16/37209/27697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37209/27697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37209 ÷ 216
    37209 ÷ 65536     		x = 0.567764282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27697 ÷ 216
    27697 ÷ 65536     		y = 0.422622680664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567764282226562 × 2 - 1) × π
    0.135528564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42577554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422622680664062 × 2 - 1) × π
    0.154754638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.48617603594661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42577554} λ = 0.42577554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.48617603594661))-π/2
    2×atan(1.62608622064483)-π/2
    2×1.01943956070672-π/2
    2.03887912141345-1.57079632675     		φ = 0.46808279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42577554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.395141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46808279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.819168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37209 KachelY 27697 0.42577554 0.46808279 24.395141 26.819168
    Oben rechts KachelX + 1 37210 KachelY 27697 0.42587142 0.46808279 24.400635 26.819168
    Unten links KachelX 37209 KachelY + 1 27698 0.42577554 0.46799723 24.395141 26.814266
    Unten rechts KachelX + 1 37210 KachelY + 1 27698 0.42587142 0.46799723 24.400635 26.814266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46808279-0.46799723) × R
    8.556000000004e-05 × 6371000     		dl = 545.102760000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46808279-0.46799723) × R
    8.556000000004e-05 × 6371000     		dr = 545.102760000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42577554-0.42587142) × cos(0.46808279) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.892434927212916 × 6371000     		do = 545.14519609166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42577554-0.42587142) × cos(0.46799723) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.892473526576049 × 6371000     		du = 545.168774569757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46808279)-sin(0.46799723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892434927212916-0.892473526576049)×R²
    abs(0.42587142-0.42577554)×3.85993631334403e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.85993631334403e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.85993631334403e-05×40589641000000     		ar = 297166.577518364m²