Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37209 / 27017
↖ ↑ ↗
← N 30.102365°
E 24.395141°		 ← 528.47 m → N 30.102365°
E 24.400635°		 →
↑
528.41 m
↓
↑
528.41 m
↓
N 30.097613°
E 24.395141°		 ← 528.49 m →
279 254 m²		 N 30.097613°
E 24.400635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567771911621094 y=0.412254333496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567771911621094 × 216)
    floor (0.567771911621094 × 65536)
    floor (37209.5)     		tx = 37209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412254333496094 × 216)
    floor (0.412254333496094 × 65536)
    floor (27017.5)     		ty = 27017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37209 / 27017 ti = "16/37209/27017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37209/27017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37209 ÷ 216
    37209 ÷ 65536     		x = 0.567764282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27017 ÷ 216
    27017 ÷ 65536     		y = 0.412246704101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567764282226562 × 2 - 1) × π
    0.135528564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42577554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412246704101562 × 2 - 1) × π
    0.175506591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.551370219429886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42577554} λ = 0.42577554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.551370219429886))-π/2
    2×atan(1.73562958266518)-π/2
    2×1.04809086041153-π/2
    2.09618172082306-1.57079632675     		φ = 0.52538539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42577554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.395141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52538539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.102365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37209 KachelY 27017 0.42577554 0.52538539 24.395141 30.102365
    Oben rechts KachelX + 1 37210 KachelY 27017 0.42587142 0.52538539 24.400635 30.102365
    Unten links KachelX 37209 KachelY + 1 27018 0.42577554 0.52530245 24.395141 30.097613
    Unten rechts KachelX + 1 37210 KachelY + 1 27018 0.42587142 0.52530245 24.400635 30.097613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52538539-0.52530245) × R
    8.29399999999758e-05 × 6371000     		dl = 528.410739999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52538539-0.52530245) × R
    8.29399999999758e-05 × 6371000     		dr = 528.410739999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42577554-0.42587142) × cos(0.52538539) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.865130714886538 × 6371000     		do = 528.466377581859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42577554-0.42587142) × cos(0.52530245) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.865172310173802 × 6371000     		du = 528.491786124645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52538539)-sin(0.52530245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865130714886538-0.865172310173802)×R²
    abs(0.42587142-0.42577554)×4.15952872641068e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.15952872641068e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.15952872641068e-05×40589641000000     		ar = 279254.022876831m²