Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37209 / 26633
↖ ↑ ↗
← N 31.910205°
E 24.395141°		 ← 518.54 m → N 31.910205°
E 24.400635°		 →
↑
518.54 m
↓
↑
518.54 m
↓
N 31.905542°
E 24.395141°		 ← 518.56 m →
268 887 m²		 N 31.905542°
E 24.400635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567771911621094 y=0.406394958496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567771911621094 × 216)
    floor (0.567771911621094 × 65536)
    floor (37209.5)     		tx = 37209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406394958496094 × 216)
    floor (0.406394958496094 × 65536)
    floor (26633.5)     		ty = 26633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37209 / 26633 ti = "16/37209/26633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37209/26633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37209 ÷ 216
    37209 ÷ 65536     		x = 0.567764282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26633 ÷ 216
    26633 ÷ 65536     		y = 0.406387329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567764282226562 × 2 - 1) × π
    0.135528564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42577554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406387329101562 × 2 - 1) × π
    0.187225341796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.588185758338089
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42577554} λ = 0.42577554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.588185758338089))-π/2
    2×atan(1.80071851155183)-π/2
    2×1.06386723099815-π/2
    2.1277344619963-1.57079632675     		φ = 0.55693814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42577554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.395141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55693814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.910205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37209 KachelY 26633 0.42577554 0.55693814 24.395141 31.910205
    Oben rechts KachelX + 1 37210 KachelY 26633 0.42587142 0.55693814 24.400635 31.910205
    Unten links KachelX 37209 KachelY + 1 26634 0.42577554 0.55685675 24.395141 31.905542
    Unten rechts KachelX + 1 37210 KachelY + 1 26634 0.42587142 0.55685675 24.400635 31.905542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55693814-0.55685675) × R
    8.1389999999959e-05 × 6371000     		dl = 518.535689999739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55693814-0.55685675) × R
    8.1389999999959e-05 × 6371000     		dr = 518.535689999739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42577554-0.42587142) × cos(0.55693814) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.84887755474453 × 6371000     		do = 518.538110654438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42577554-0.42587142) × cos(0.55685675) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.848920573835155 × 6371000     		du = 518.564388929614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55693814)-sin(0.55685675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84887755474453-0.848920573835155)×R²
    abs(0.42587142-0.42577554)×4.30190906242078e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.30190906242078e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.30190906242078e-05×40589641000000     		ar = 268887.330259703m²