Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37208 / 26840
↖ ↑ ↗
← N 30.939924°
E 24.389649°		 ← 523.88 m → N 30.939924°
E 24.395141°		 →
↑
523.89 m
↓
↑
523.89 m
↓
N 30.935213°
E 24.389649°		 ← 523.90 m →
274 459 m²		 N 30.935213°
E 24.395141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567756652832031 y=0.409553527832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567756652832031 × 216)
    floor (0.567756652832031 × 65536)
    floor (37208.5)     		tx = 37208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409553527832031 × 216)
    floor (0.409553527832031 × 65536)
    floor (26840.5)     		ty = 26840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37208 / 26840 ti = "16/37208/26840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37208/26840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37208 ÷ 216
    37208 ÷ 65536     		x = 0.5677490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26840 ÷ 216
    26840 ÷ 65536     		y = 0.4095458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5677490234375 × 2 - 1) × π
    0.135498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42567967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4095458984375 × 2 - 1) × π
    0.180908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.568339881895386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42567967} λ = 0.42567967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.568339881895386))-π/2
    2×atan(1.76533395460506)-π/2
    2×1.05539993833761-π/2
    2.11079987667523-1.57079632675     		φ = 0.54000355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42567967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.389649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54000355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.939924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37208 KachelY 26840 0.42567967 0.54000355 24.389649 30.939924
    Oben rechts KachelX + 1 37209 KachelY 26840 0.42577554 0.54000355 24.395141 30.939924
    Unten links KachelX 37208 KachelY + 1 26841 0.42567967 0.53992132 24.389649 30.935213
    Unten rechts KachelX + 1 37209 KachelY + 1 26841 0.42577554 0.53992132 24.395141 30.935213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54000355-0.53992132) × R
    8.22299999999609e-05 × 6371000     		dl = 523.887329999751m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54000355-0.53992132) × R
    8.22299999999609e-05 × 6371000     		dr = 523.887329999751m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42567967-0.42577554) × cos(0.54000355) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.857706856175649 × 6371000     		do = 523.876857997224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42567967-0.42577554) × cos(0.53992132) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.857749130928765 × 6371000     		du = 523.902678899407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54000355)-sin(0.53992132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857706856175649-0.857749130928765)×R²
    abs(0.42577554-0.42567967)×4.22747531155787e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.22747531155787e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.22747531155787e-05×40589641000000     		ar = 274459.212161246m²