Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37207 / 39006
↖ ↑ ↗
← S 32.389239°
E 24.384155°		 ← 515.82 m → S 32.389239°
E 24.389649°		 →
↑
515.80 m
↓
↑
515.80 m
↓
S 32.393878°
E 24.384155°		 ← 515.79 m →
266 051 m²		 S 32.393878°
E 24.389649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567741394042969 y=0.595191955566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567741394042969 × 216)
    floor (0.567741394042969 × 65536)
    floor (37207.5)     		tx = 37207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595191955566406 × 216)
    floor (0.595191955566406 × 65536)
    floor (39006.5)     		ty = 39006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37207 / 39006 ti = "16/37207/39006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37207/39006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37207 ÷ 216
    37207 ÷ 65536     		x = 0.567733764648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39006 ÷ 216
    39006 ÷ 65536     		y = 0.595184326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567733764648438 × 2 - 1) × π
    0.135467529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42558379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595184326171875 × 2 - 1) × π
    -0.19036865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.598060759659821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42558379} λ = 0.42558379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.598060759659821))-π/2
    2×atan(0.549876946370376)-π/2
    2×0.502748731063287-π/2
    1.00549746212657-1.57079632675     		φ = -0.56529886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42558379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.384155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56529886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.389239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37207 KachelY 39006 0.42558379 -0.56529886 24.384155 -32.389239
    Oben rechts KachelX + 1 37208 KachelY 39006 0.42567967 -0.56529886 24.389649 -32.389239
    Unten links KachelX 37207 KachelY + 1 39007 0.42558379 -0.56537982 24.384155 -32.393878
    Unten rechts KachelX + 1 37208 KachelY + 1 39007 0.42567967 -0.56537982 24.389649 -32.393878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56529886--0.56537982) × R
    8.09600000000188e-05 × 6371000     		dl = 515.79616000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56529886--0.56537982) × R
    8.09600000000188e-05 × 6371000     		dr = 515.79616000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42558379-0.42567967) × cos(-0.56529886) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.844428548336776 × 6371000     		do = 515.820428505731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42558379-0.42567967) × cos(-0.56537982) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.844385177871465 × 6371000     		du = 515.793935592808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56529886)-sin(-0.56537982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844428548336776-0.844385177871465)×R²
    abs(0.42567967-0.42558379)×4.33704653104439e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.33704653104439e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.33704653104439e-05×40589641000000     		ar = 266051.363946481m²