Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37207 / 26804
↖ ↑ ↗
← N 31.109389°
E 24.384155°		 ← 523 m → N 31.109389°
E 24.389649°		 →
↑
523 m
↓
↑
523 m
↓
N 31.104685°
E 24.384155°		 ← 523.03 m →
273 534 m²		 N 31.104685°
E 24.389649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567741394042969 y=0.409004211425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567741394042969 × 216)
    floor (0.567741394042969 × 65536)
    floor (37207.5)     		tx = 37207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409004211425781 × 216)
    floor (0.409004211425781 × 65536)
    floor (26804.5)     		ty = 26804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37207 / 26804 ti = "16/37207/26804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37207/26804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37207 ÷ 216
    37207 ÷ 65536     		x = 0.567733764648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26804 ÷ 216
    26804 ÷ 65536     		y = 0.40899658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567733764648438 × 2 - 1) × π
    0.135467529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42558379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40899658203125 × 2 - 1) × π
    0.1820068359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.57179133866803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42558379} λ = 0.42558379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.57179133866803))-π/2
    2×atan(1.77143745536416)-π/2
    2×1.05687879272469-π/2
    2.11375758544939-1.57079632675     		φ = 0.54296126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42558379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.384155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54296126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.109389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37207 KachelY 26804 0.42558379 0.54296126 24.384155 31.109389
    Oben rechts KachelX + 1 37208 KachelY 26804 0.42567967 0.54296126 24.389649 31.109389
    Unten links KachelX 37207 KachelY + 1 26805 0.42558379 0.54287917 24.384155 31.104685
    Unten rechts KachelX + 1 37208 KachelY + 1 26805 0.42567967 0.54287917 24.389649 31.104685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54296126-0.54287917) × R
    8.20900000000346e-05 × 6371000     		dl = 522.995390000221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54296126-0.54287917) × R
    8.20900000000346e-05 × 6371000     		dr = 522.995390000221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42558379-0.42567967) × cos(0.54296126) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.856182432595281 × 6371000     		do = 523.000306100788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42558379-0.42567967) × cos(0.54287917) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.856224843448886 × 6371000     		du = 523.02621283348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54296126)-sin(0.54287917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856182432595281-0.856224843448886)×R²
    abs(0.42567967-0.42558379)×4.24108536046797e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.24108536046797e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.24108536046797e-05×40589641000000     		ar = 273533.523763635m²