Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37206 / 39004
↖ ↑ ↗
← S 32.379962°
E 24.378662°		 ← 515.82 m → S 32.379962°
E 24.384155°		 →
↑
515.80 m
↓
↑
515.80 m
↓
S 32.384600°
E 24.378662°		 ← 515.79 m →
266 051 m²		 S 32.384600°
E 24.384155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567726135253906 y=0.595161437988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567726135253906 × 216)
    floor (0.567726135253906 × 65536)
    floor (37206.5)     		tx = 37206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595161437988281 × 216)
    floor (0.595161437988281 × 65536)
    floor (39004.5)     		ty = 39004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37206 / 39004 ti = "16/37206/39004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37206/39004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37206 ÷ 216
    37206 ÷ 65536     		x = 0.567718505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39004 ÷ 216
    39004 ÷ 65536     		y = 0.59515380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567718505859375 × 2 - 1) × π
    0.13543701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42548792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59515380859375 × 2 - 1) × π
    -0.1903076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.59786901206134
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42548792} λ = 0.42548792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.59786901206134))-π/2
    2×atan(0.54998239406365)-π/2
    2×0.502829693793704-π/2
    1.00565938758741-1.57079632675     		φ = -0.56513694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42548792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.378662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56513694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.379962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37206 KachelY 39004 0.42548792 -0.56513694 24.378662 -32.379962
    Oben rechts KachelX + 1 37207 KachelY 39004 0.42558379 -0.56513694 24.384155 -32.379962
    Unten links KachelX 37206 KachelY + 1 39005 0.42548792 -0.56521790 24.378662 -32.384600
    Unten rechts KachelX + 1 37207 KachelY + 1 39005 0.42558379 -0.56521790 24.384155 -32.384600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56513694--0.56521790) × R
    8.09600000000188e-05 × 6371000     		dl = 515.79616000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56513694--0.56521790) × R
    8.09600000000188e-05 × 6371000     		dr = 515.79616000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42548792-0.42558379) × cos(-0.56513694) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.844515272662637 × 6371000     		do = 515.819600120543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42548792-0.42558379) × cos(-0.56521790) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.844471913267261 × 6371000     		du = 515.793116732133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56513694)-sin(-0.56521790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844515272662637-0.844471913267261)×R²
    abs(0.42558379-0.42548792)×4.33593953759193e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.33593953759193e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.33593953759193e-05×40589641000000     		ar = 266050.939125163m²