Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37206 / 38801
↖ ↑ ↗
← S 31.433350°
E 24.378662°		 ← 521.15 m → S 31.433350°
E 24.384155°		 →
↑
521.15 m
↓
↑
521.15 m
↓
S 31.438037°
E 24.378662°		 ← 521.13 m →
271 591 m²		 S 31.438037°
E 24.384155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567726135253906 y=0.592063903808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567726135253906 × 216)
    floor (0.567726135253906 × 65536)
    floor (37206.5)     		tx = 37206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592063903808594 × 216)
    floor (0.592063903808594 × 65536)
    floor (38801.5)     		ty = 38801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37206 / 38801 ti = "16/37206/38801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37206/38801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37206 ÷ 216
    37206 ÷ 65536     		x = 0.567718505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38801 ÷ 216
    38801 ÷ 65536     		y = 0.592056274414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567718505859375 × 2 - 1) × π
    0.13543701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42548792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592056274414062 × 2 - 1) × π
    -0.184112548828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.578406630815598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42548792} λ = 0.42548792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.578406630815598))-π/2
    2×atan(0.560791202488812)-π/2
    2×0.511090434898624-π/2
    1.02218086979725-1.57079632675     		φ = -0.54861546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42548792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.378662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54861546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.433350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37206 KachelY 38801 0.42548792 -0.54861546 24.378662 -31.433350
    Oben rechts KachelX + 1 37207 KachelY 38801 0.42558379 -0.54861546 24.384155 -31.433350
    Unten links KachelX 37206 KachelY + 1 38802 0.42548792 -0.54869726 24.378662 -31.438037
    Unten rechts KachelX + 1 37207 KachelY + 1 38802 0.42558379 -0.54869726 24.384155 -31.438037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54861546--0.54869726) × R
    8.17999999999097e-05 × 6371000     		dl = 521.147799999425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54861546--0.54869726) × R
    8.17999999999097e-05 × 6371000     		dr = 521.147799999425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42548792-0.42558379) × cos(-0.54861546) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.853247386080497 × 6371000     		do = 521.153068202424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42548792-0.42558379) × cos(-0.54869726) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.853204724004508 × 6371000     		du = 521.127010728168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54861546)-sin(-0.54869726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853247386080497-0.853204724004508)×R²
    abs(0.42558379-0.42548792)×4.26620759889085e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.26620759889085e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.26620759889085e-05×40589641000000     		ar = 271590.985210399m²