Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37206 / 27543
↖ ↑ ↗
← N 27.571591°
E 24.378662°		 ← 541.42 m → N 27.571591°
E 24.384155°		 →
↑
541.47 m
↓
↑
541.47 m
↓
N 27.566721°
E 24.378662°		 ← 541.45 m →
293 171 m²		 N 27.566721°
E 24.384155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567726135253906 y=0.420280456542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567726135253906 × 216)
    floor (0.567726135253906 × 65536)
    floor (37206.5)     		tx = 37206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420280456542969 × 216)
    floor (0.420280456542969 × 65536)
    floor (27543.5)     		ty = 27543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37206 / 27543 ti = "16/37206/27543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37206/27543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37206 ÷ 216
    37206 ÷ 65536     		x = 0.567718505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27543 ÷ 216
    27543 ÷ 65536     		y = 0.420272827148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567718505859375 × 2 - 1) × π
    0.13543701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42548792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420272827148438 × 2 - 1) × π
    0.159454345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.500940601029587
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42548792} λ = 0.42548792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.500940601029587))-π/2
    2×atan(1.65027278919041)-π/2
    2×1.026005683663-π/2
    2.052011367326-1.57079632675     		φ = 0.48121504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42548792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.378662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48121504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.571591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37206 KachelY 27543 0.42548792 0.48121504 24.378662 27.571591
    Oben rechts KachelX + 1 37207 KachelY 27543 0.42558379 0.48121504 24.384155 27.571591
    Unten links KachelX 37206 KachelY + 1 27544 0.42548792 0.48113005 24.378662 27.566721
    Unten rechts KachelX + 1 37207 KachelY + 1 27544 0.42558379 0.48113005 24.384155 27.566721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48121504-0.48113005) × R
    8.4990000000007e-05 × 6371000     		dl = 541.471290000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48121504-0.48113005) × R
    8.4990000000007e-05 × 6371000     		dr = 541.471290000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42548792-0.42558379) × cos(0.48121504) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.886433188002822 × 6371000     		do = 541.422550154223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42548792-0.42558379) × cos(0.48113005) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.886472522981064 × 6371000     		du = 541.446575477866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48121504)-sin(0.48113005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886433188002822-0.886472522981064)×R²
    abs(0.42558379-0.42548792)×3.93349782416008e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.93349782416008e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.93349782416008e-05×40589641000000     		ar = 293171.271354959m²